Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán PTNK 2016-2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 27 trả lời

#1
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
Bài 1:
a) Giải hệ $\left\{\begin{matrix} (x-2y)(x+my)=m^2-2m-3\\ (y-2x)(y+mx)=m^2-2m-3\end{matrix}\right.$ khi $m=-3$ và tìm $m$ để hệ có ít nhất một nghiệm $(x_0;y_0)$ thỏa $x_0>0,y_0>0$

b) Tìm $a\geqslant 1$ để phương trình $ax^2+(1-2a)x+1-a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa $x_2^2-ax_1=a^2-a-1$

Bài 2: Cho $x,y$ nguyên dương và $xy\mid x^2+y^2+10$
a) Chứng minh $(x,y)=1$ và $x,y$ là hai số lẻ

b) Chứng minh $k=\frac{x^2+y^2+10}{xy}$ chia hết cho $4$ và $k\geqslant 12$

Bài 3: Cho $x\geqslant y\geqslant z,$ $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=6$
a) Tính $S=(x-y)^2+(x-y)(y-z)+(z-x)^2$

b) Tìm $GTLN$ của $P=|(x-y)(y-z)(z-x)|$

Bài 4: Tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{BAC}>45^0$.Dựng các hình vuông $ABMN,ACPQ$ $(M,C$ khác phía đối với $AB,B$ và $Q$ khác phía đối với $AC)$. $AQ$ cắt đoạn $BM$ tại $E$ và $NA$ cắt đoạn $CP$ tại $F$
a) Chứng minh $\Delta ABE\sim \Delta ACF$ và tứ giác $EFQN$ nội tiếp
b) Chứng minh trung điểm $I$ của $EF$ là tâm đường tròn ngọai tiếp tan giác $ABC$
c) $MN$ cắt $PQ$ tại $D$, các đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMQ$ và $DNP$ cắt nhau tại $K$ $(K\neq D)$, các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiêp tam giác $ABC$ tại $B,C$ cắt nhau tại $J$.Chứng minh $D,A,K,J$ thẳng hàng

Bài 5: Với mỗi số nguyên dương $m>1$, kí hiệu $s(m)$ là ước nguyên dương lớn nhất của $m$ và khác $m$.Cho số tự nhiên $n>1$, đặt $n_0=n$ và lần lượt tính các số $n_1=n_0-s(n_0),n_2=n_1-s(n_1),...,n_{i+1}=n_i-s(n_i),...$ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ để $n_k=1$ và tính $k$ khi $n=2^{16}.14^{17}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 02-06-2016 - 10:22


#2
quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết

Bài hình học có nội dung đề thi toàn Nga năm 2013 cho lớp 9 ở đây http://www.artofprob...h535006p3067570

 

Và đã được mở rộng ở đây http://analgeomatica...nh-hoc-hay.html



#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Bài 2 : PT $\Leftrightarrow x^2-kxy+y^2+10=0$ 
Cố định tập nghiệm. Giả sử $x+y$ bé nhất (giả sử luôn $x \ge y$
Theo Viet ngoài nghiệm $x$ thì còn nghiệm $t$ cho mà : 
$\begin{cases} &x+t=ky&\\&xt=y^2+10& \end{cases}$ 
Dễ thấy $t$ nguyên dương. 
Suy ra $t \ge x$ ta có $x+t=ky \ge 2x \Rightarrow \frac{k}{2} \ge \frac{x}{y}$ 
$k=\frac{x^2+y^2+10}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{10}{xy} \le \frac{k}{2}+11$ 
Dễ c/m $22 \ge k \ge 12$ 
Từ đó suy ra $x=y=1$ suy ra $k=12$



#4
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Bài 5: Với mỗi số nguyên dương $m>1$, kí hiệu $s(m)$ là ước nguyên dương lớn nhất của $m$ và khác $m$.Cho số tự nhiên $n>1$, đặt $n_0=n$ và lần lượt tính các số $n_1=n_0-s(n_0),n_2=n_1-s(n_1),...,n_{i+1}=n_i-s(n_i),...$ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ để $n_k=1$ và tính $k$ khi $n=2^{16}.14^{17}$

Công nhận bạn đăng đề nhanh thật, đang tính đăng mà bạn đăng rồi.

Xin phép xử câu số 5 ( hình như câu này dễ nhất ):

Spoiler

Spoiler

P.s


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#5
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Bài 1:

b) Tìm $a\geqslant 1$ để phương trình $ax^2+(1-2a)x+1-a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa $x_2^2-ax_1=a^2-a-1$

Bài 3: Cho $x\geqslant y\geqslant z,$ $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=6$

a) Tính $S=(x-y)^2+(x-y)(y-z)+(z-x)^2$

b) Tìm $GTLN$ của $P=|(x-y)(y-z)(z-x)|$

 

Câu 1b

Câu 3


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#6
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Bài toán tổng quát của bài 3 như sau:

Cho $a, b, c$ là ba số thực và $t \ge 0 $ là một số cho trước thỏa mãn $a+b+c=0$ và $ a^2+b^2+c^2=6t^2$. Chứng minh rằng với mọi số thực $k$ ta luôn có bất đẳng thức sau

$|a^2b+b^2c+c^2a+kabc| \le 2t^3\sqrt{k^2-3k+9} $.

Chọn $k=\dfrac{3}{2}$ thì ta có bài toán trên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 01-06-2016 - 13:16


#7
CaptainCuong

CaptainCuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Bài 1:

a) Giải hệ $\left\{\begin{matrix} (x-2y)(x+my)=m^2-2m-3\\ (y-2x)(y+mx)=m^2-2m-3\end{matrix}\right.$ khi $m=-3$ và tìm $m$ để hệ có ít nhất một nghiệm $(x_0;y_0)$ thỏa $x_0>0,y_0>0$

 

b) Tìm $a\geqslant 1$ để phương trình $ax^2+(1-2a)x+1-a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa $x_2^2-ax_1=a^2-a-1$

 

Bài 2:  Cho $x,y$ nguyên dương và $xy\mid x^2+y^2+10$

a) Chứng minh $(x,y)=1$ và $x,y$ là hai số lẻ

 

b) Chứng minh $k=\frac{x^2+y^2+10}{xy}$ chia hết cho $4$ và $k\geqslant 12$

 

Bài 3: Cho $x\geqslant y\geqslant z,$ $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=6$

a) Tính $S=(x-y)^2+(x-y)(y-z)+(z-x)^2$

 

b) Tìm $GTLN$ của $P=|(x-y)(y-z)(z-x)|$

 

Bài 4: Tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{BAC}>45^0$.Dựng các hình vuông $ABMN,ACPQ$ $(M,C$ khác phía đối với $AB,B$ và $Q$ khác phía đối với $AC)$. $AQ$ cắt đoạn $BM$ tại $E$ và $NA$ cắt đoạn $CP$ tại $F$

a) Chứng minh $\Delta ABE\sim \Delta ACF$ và tứ giác $EFQN$ nội tiếp

b) Chứng minh trung điểm $I$ của $EF$ là tâm đường tròn ngọai tiếp tan giác $ABC$

c) $MN$ cắt $PQ$ tại $D$, các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $DNP$ cắt nhau tại $K$ $(K\neq D)$, các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiêp tam giác $ABC$ tại $B,C$ cắt nhau tại $J$.Chứng minh $D,A,K,J$ thẳng hàng

 

Bài 5: Với mỗi số nguyên dương $m>1$, kí hiệu $s(m)$ là ước nguyên dương lớn nhất của $m$ và khác $m$.Cho số tự nhiên $n>1$, đặt $n_0=n$ và lần lượt tính các số $n_1=n_0-s(n_0),n_2=n_1-s(n_1),...,n_{i+1}=n_i-s(n_i),...$ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ để $n_k=1$ và tính $k$ khi $n=2^{16}.14^{17}$

Câu 2: Xét 2 số $x,y$ đều chẵn $\Rightarrow x^2+y^2+10\equiv 2 (mod 4)$ mà $xy\equiv 0(mod 4)$. Vậy$x,y$ không thể cùng chẵn

 

Xét 1 trong 2 số có 1 số chẵn, 1 số lẻ. Không mất tính tổng quát, giả sứ $x$ lẻ, $y$ chẵn $\Rightarrow x^2+y^2+10\equiv1(mod 2)$ mà $xy\equiv 0(mod 2)$. Vậy 1 trong 2 số không thể có 1 số chẵn và 1 số lẻ.

Vậy cả 2 số đều lẻ

 

Gọi $(x;y)=d\Rightarrow x=da;y=db\Rightarrow a^2d^2+b^2d^2+10=kabd^2\rightarrow 10\vdots d^2$ mà $d^2$ là số chính phương nên $d^2=1$

$\rightarrow d=1$. Vậy $x,y$ nguyên tố cùng nhau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 01-06-2016 - 13:41


#8
CaptainCuong

CaptainCuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Bài 2:  Cho $x,y$ nguyên dương và $xy\mid x^2+y^2+10$

b) Chứng minh $k=\frac{x^2+y^2+10}{xy}$ chia hết cho $4$ và $k\geqslant 12$

Đặt $k=4n+r(r\in {-1;0;1;2})$. Xét $r=\pm 1$, ta có:

$x^2+y^2+10=(4n\pm 1)xy$$\Rightarrow x^+y^2+10=4nxy\pm xy$

mà $x^2+y^2+10\vdots 4$ (do $x,y$ lẻ)

$ 4nxy \vdots 4$ 

$\Rightarrow \pm xy\vdots 4$(vô lí vì $x,y$ lẻ)

 

Xét $r=2$, tương tự TH trên vô lí

Vậy $r=0$$\rightarrow k=4n\rightarrow k\vdots 4$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 01-06-2016 - 14:00


#9
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

 

Spoiler

P.s

Góp ý tẹo : Công thức này mình nghĩ ko cần chứng minh lại



#10
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Góp ý tẹo : Công thức này mình nghĩ ko cần chứng minh lại

À tùy thôi, thực ra mình chứng minh cho chắc chứ thực ra không cần chứng minh công thức này. ( đúng là hơi thừa thật  :P )


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#11
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

ai giải hình với ạ


 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 

#12
nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 372 Bài viết

Bài hình học có nội dung đề thi toàn Nga năm 2013 cho lớp 9 ở đây http://www.artofprob...h535006p3067570

 

Và đã được mở rộng ở đây http://analgeomatica...nh-hoc-hay.html

Câu hình bị bắt bài :) Ai có đề vòng 1 post luôn nhé! Thanks!


$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#13
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Bài 2 : PT $\Leftrightarrow x^2-kxy+y^2+10=0$ 
Cố định tập nghiệm. Giả sử $x+y$ bé nhất (giả sử luôn $x \ge y$
Theo Viet ngoài nghiệm $x$ thì còn nghiệm $t$ cho mà : 
$\begin{cases} &x+t=ky&\\&xt=y^2+10& \end{cases}$ 
Dễ thấy $t$ nguyên dương. 
Suy ra $t \ge x$ ta có $x+t=ky \ge 2x \Rightarrow \frac{k}{2} \ge \frac{x}{y}$ 
$k=\frac{x^2+y^2+10}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{10}{xy} \le \frac{k}{2}+11$ 
Dễ c/m $22 \ge k \ge 12$ 
Từ đó suy ra $x=y=1$ suy ra $k=12$

Còn cách đơn giản hơn:

Đặt $a=x+y$ và $b=x-y$ $(a,b$ chẵn$)$

Từ giả thiết$=>\frac{a^2+10}{a^2-b^2}=\frac{k+2}{4}$

Đặt $d=(a^2+10,a^2-b^2)$

Dễ thấy $d=2$ hoặc $d=10$

Mặt khác do $4\mid k$:

Xét $k=4=>\frac{a^2+10}{a^2-b^2}=\frac{3}{2}$

$=>PT$ vô nghiệm

Xét $k=8=>\frac{a^2+10}{a^2-b^2}=\frac{5}{2}$

$=>PT$ vô nghiệm

Suy ra $k=4$ hoặc $k=8$ không thỏa mãn nên $k\geqslant 12$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 02-06-2016 - 09:03


#14
minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Câu hình bị bắt bài :) Ai có đề vòng 1 post luôn nhé! Thanks!


Vòng 1 chưa thi bạn à

$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#15
minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Còn cách đơn giản hơn:
Đặt $a=x+y$ và $b=x-y$ $(a,b$ chẵn$)$
Từ giả thiết$=>\frac{a^2+10}{a^2-b^2}=\frac{k+2}{4}$
Đặt $d=(a^2+10,a^2-b^2)$
Dễ thấy $d=2$ hoặc $d=10$
Mặt khác do $4\mid k$:
Xét $k=4=>\frac{a^2+10}{a^2-b^2}=\frac{3}{2}$
$=>PT$ vô nghiệm
Xét $k=8=>\frac{a^2+10}{a^2-b^2}=\frac{5}{2}$
$=>PT$ vô nghiệm
Suy ra $k=4$ hoặc $k=8$ không thỏa mãn nên $k\geqslant 12$

Sau đây là cách của mình!
Giả sử trong 2 số x,y tồn tại 1 số chia hết cho 3. Khi đó $x^{2}+y^{2}+10$ không chia hết cho 3 (vô lí vì $kxy$ chia hết cho 3). Do đó, $x,y\vdots 3$. Suy ra $x^{2}+y^{2}+10\vdots 3\Rightarrow kxy\vdots 3\Rightarrow k\vdots 3\Rightarrow k\vdots 12\Rightarrow k\geqslant 12$

$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#16
minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Bài 1:
a) Giải hệ $\left\{\begin{matrix} (x-2y)(x+my)=m^2-2m-3\\ (y-2x)(y+mx)=m^2-2m-3\end{matrix}\right.$ khi $m=-3$ và tìm $m$ để hệ có ít nhất một nghiệm $(x_0;y_0)$ thỏa $x_0>0,y_0>0$
 
b) Tìm $a\geqslant 1$ để phương trình $ax^2+(1-2a)x+1-a=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa $x_2^2-ax_1=a^2-a-1$
 
Bài 2:  Cho $x,y$ nguyên dương và $xy\mid x^2+y^2+10$
a) Chứng minh $(x,y)=1$ và $x,y$ là hai số lẻ
 
b) Chứng minh $k=\frac{x^2+y^2+10}{xy}$ chia hết cho $4$ và $k\geqslant 12$
 
Bài 3: Cho $x\geqslant y\geqslant z,$ $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=6$
a) Tính $S=(x-y)^2+(x-y)(y-z)+(z-x)^2$
 
b) Tìm $GTLN$ của $P=|(x-y)(y-z)(z-x)|$
 
Bài 4: Tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{BAC}>45^0$.Dựng các hình vuông $ABMN,ACPQ$ $(M,C$ khác phía đối với $AB,B$ và $Q$ khác phía đối với $AC)$. $AQ$ cắt đoạn $BM$ tại $E$ và $NA$ cắt đoạn $CP$ tại $F$
a) Chứng minh $\Delta ABE\sim \Delta ACF$ và tứ giác $EFQN$ nội tiếp
b) Chứng minh trung điểm $I$ của $EF$ là tâm đường tròn ngọai tiếp tan giác $ABC$
c) $MN$ cắt $PQ$ tại $D$, các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $DNP$ cắt nhau tại $K$ $(K\neq D)$, các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiêp tam giác $ABC$ tại $B,C$ cắt nhau tại $J$.Chứng minh $D,A,K,J$ thẳng hàng
 
Bài 5: Với mỗi số nguyên dương $m>1$, kí hiệu $s(m)$ là ước nguyên dương lớn nhất của $m$ và khác $m$.Cho số tự nhiên $n>1$, đặt $n_0=n$ và lần lượt tính các số $n_1=n_0-s(n_0),n_2=n_1-s(n_1),...,n_{i+1}=n_i-s(n_i),...$ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ để $n_k=1$ và tính $k$ khi $n=2^{16}.14^{17}$

Câu hình ghi sai đề nhé bạn! Trong đề mình nhận được là đường tròn (DNP) cắt đường tròn (DMQ)!

$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#17
CaptainCuong

CaptainCuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Còn cách đơn giản hơn:

Đặt $a=x+y$ và $b=x-y$ $(a,b$ chẵn$)$

Từ giả thiết$=>\frac{a^2+10}{a^2-b^2}=\frac{k+2}{4}$

Đặt $d=(a^2+10,a^2-b^2)$

Dễ thấy $d=2$ hoặc $d=10$

Mặt khác do $4\mid k$:

Xét $k=4=>\frac{a^2+10}{a^2-b^2}=\frac{3}{2}$

$=>PT$ vô nghiệm

Xét $k=8=>\frac{a^2+10}{a^2-b^2}=\frac{5}{2}$

$=>PT$ vô nghiệm

Suy ra $k=4$ hoặc $k=8$ không thỏa mãn nên $k\geqslant 12$

Mình còn cách gọn hơn tí :)

C/m được số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1

+Xét 2 số $x,y$, có 1 số chia hết cho 3, 1 số không chia hết cho 3. Không mất tính tổng quát giả sử $x$ chia hết cho 3, $y$ không chia hết cho 3 $\Rightarrow x^2+y^2+10\equiv 2(mod 3)$ mà xy chia hết cho 3 $\Rightarrow$ loại.

+ Xét 2 số $x,y$ đều chia hết cho 3 $\Rightarrow x^2,y^2\vdots 9\Rightarrow x^2+y^2+10\equiv 1(mod 9)$ mà $xy$ chia hết cho 9  $\Rightarrow$ loại.

Vậy $x,y$ không chia hết cho 3 $\Rightarrow x^2,y^2\equiv 1(mod 3)\Rightarrow x^2+y^2+10\equiv 0(mod 3)$ mà $xy$ không chia hết cho 3 $\Rightarrow$ $k\vdots 3$

mà $k\vdots 4$

$(4;3)=1$

$\Rightarrow$ $k\vdots 12$ mà $k\neq 0\Rightarrow k\geq 12$



#18
minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Mình còn cách gọn hơn tí :)
C/m được số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1
+Xét 2 số $x,y$, có 1 số chia hết cho 3, 1 số không chia hết cho 3. Không mất tính tổng quát giả sử $x$ chia hết cho 3, $y$ không chia hết cho 3 $\Rightarrow x^2+y^2+10\equiv 2(mod 3)$ mà xy chia hết cho 3 $\Rightarrow$ loại.
+ Xét 2 số $x,y$ đều chia hết cho 3 $\Rightarrow x^2,y^2\vdots 9\Rightarrow x^2+y^2+10\equiv 1(mod 9)$ mà $xy$ chia hết cho 9  $\Rightarrow$ loại.
Vậy $x,y$ không chia hết cho 3 $\Rightarrow x^2,y^2\equiv 1(mod 3)\Rightarrow x^2+y^2+10\equiv 0(mod 3)$ mà $xy$ không chia hết cho 3 $\Rightarrow$ $k\vdots 3$
mà $k\vdots 4$
$(4;3)=1$
$\Rightarrow$ $k\vdots 12$ mà $k\neq 0\Rightarrow k\geq 12$

Cách này với cách mình post hình như giống nhau

$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#19
CaptainCuong

CaptainCuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

Cách này với cách mình post hình như giống nhau

:luoi: xin lỗi bạn mình không để ý



#20
emlas21

emlas21

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Hình như bài 3 a sai đề thi phải :)






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh