2 replies to this topic

[0911071khang]

Ai còn nhớ giúp mình với, bài nào cũng được hết, giải được hết càng tốt. mong giúp đỡ. thank!!

Attached Files

•  13275741_1055372994527975_332873736_n.jpg   55.72KB   0 downloads
•  13278190_1055372987861309_1493350723_n.jpg   48.56KB   0 downloads

Edited by bangbang1412, 23-01-2017 - 21:25.

[bangbang1412]

Ai còn nhớ giúp mình với, bài nào cũng được hết, giải được hết càng tốt. mong giúp đỡ. thank!!

Edited by bangbang1412, 18-03-2017 - 12:55.

[vutuanhien]

Ai còn nhớ giúp mình với, bài nào cũng được hết, giải được hết càng tốt. mong giúp đỡ. thank!!

Bài 3: Ta chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi ước nguyên tố $p$ của $A$ thì $A$ có một nhóm con cấp $p$.

Với $|A|=p$ thì hiển nhiên đúng.

Ta xét một phần tử $x$ khác $1$, thì $|x|=k>1$. Nếu $p\mid k$, giả sử $k=pl$ thì $|x^l|=p$ và do đó nhóm cyclic sinh bởi $x^l$ sẽ có cấp $p$. Nếu $p$ không chia hết $k$ thì xét nhóm cyclic $H$ sinh bởi $x$. Vì $A$ là nhóm Abel nên nhóm cyclic $H$ sinh bởi $x$ là nhóm con chuẩn tắc. Do đó $A/H$ là một nhóm, và theo định lý Lagrange:

$|A|=|A/H|.|H|$

Vì $p$ không chia hết $k$, nên $p$ không chia hết $|H|$. Suy ra $p\mid |A/H|$, mà theo giả thiết quy nạp thì $|A/H|$ có một nhóm con cấp $p$, và theo định lý Lagrange thì nhóm này cũng phải có 1 phần tử cấp $p$, giả sử là $bH$. Khi đó $p\mid |b|$, và ta lại quay về trường hợp đầu tiên. Tóm lại $A$ luôn có một nhóm con cấp $p$.

Tiếp theo, giả sử $d\mid |A|$. Gọi $p$ là một ước nguyên tố của $d$. Suy ra tồn tại một nhóm con cấp $p$ của $A$ là $S$. Vì $A$ abel nên $S$ là nhóm con chuẩn tắc. Do đó $|A/S|$ là một nhóm và $|A/S|=\dfrac{n}{p}$. Bằng quy nạp theo $A$, ta cũng chứng minh được $A/S$ có một nhóm con $H$ cấp $\dfrac{d}{p}$. Theo định lý tương ứng (the correspondence theorem, the lattice isomorphism theorem, mình cũng không biết nên gọi thế nào cho hay), thì tồn tại một nhóm con $H*$ của $A$ chứa $S$ sao cho $H=H*/S$. Do đó theo định lý Lagrange, $|H*|=|H|.|S|=\dfrac{d}{p}.p=d$