Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $\sum ab(a+b)(1+c)\geq 4\sum a$

inex 2016 bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=ab+bc+ca$

Chứng minh rằng: $$\sum ab(a+b)(1+c)\geq 4\sum a$$


"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#2
Chris yang

Chris yang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=ab+bc+ca$

Chứng minh rằng: $$\sum ab(a+b)(1+c)\geq 4\sum a$$

 

Áp dụng BĐT AM-GM  dễ có $a+b+c\geq 3$

Từ điều kiện $ab+bc+ac=a+b+c$, biến đổi ta được BĐT cần CM tương đương với:

 

$(a+b+c)(a+b+c+2abc)\geq 4(a+b+c)+3abc$

BĐT trên luôn đúng vì ta có các điều sau:

1. $2abc(a+b+c)\geq 6abc$

2.  BĐT Schur bậc $3$ : $(a+b+c)^3+3abc(a+b+c)\geq (a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ac)=4(a+b+c)^2$

hay $(a+b+c)^2+3abc\geq 4(a+b+c)$ 

Cộng theo vế ta có đpcm







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: inex, 2016, bđt

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh