Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=ab+bc+ca$
Chứng minh rằng: $$\sum ab(a+b)(1+c)\geq 4\sum a$$
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=ab+bc+ca$
Chứng minh rằng: $$\sum ab(a+b)(1+c)\geq 4\sum a$$
Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=ab+bc+ca$
Chứng minh rằng: $$\sum ab(a+b)(1+c)\geq 4\sum a$$
Áp dụng BĐT AM-GM dễ có $a+b+c\geq 3$
Từ điều kiện $ab+bc+ac=a+b+c$, biến đổi ta được BĐT cần CM tương đương với:
$(a+b+c)(a+b+c+2abc)\geq 4(a+b+c)+3abc$
BĐT trên luôn đúng vì ta có các điều sau:
1. $2abc(a+b+c)\geq 6abc$
2. BĐT Schur bậc $3$ : $(a+b+c)^3+3abc(a+b+c)\geq (a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ac)=4(a+b+c)^2$
hay $(a+b+c)^2+3abc\geq 4(a+b+c)$
Cộng theo vế ta có đpcm
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $abc(a-1)(b-1)(c-1)\leq 8$Bắt đầu bởi kakachjmz, Hôm qua, 23:44 thcs, toán chuyên, hsg 9, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm $Max, Min$ của $A = xy + yz + zx + \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$ biết $3(x^2 + y^2 + z^2) + xy + yz + zx = 12$Bắt đầu bởi kakachjmz, 20-04-2024 hsg, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh