Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $\sum \frac{(1-x)^{2}}{(1-yz)^{2}}\geq \frac{27}{16}$

- - - - - bđt inex 2016

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=1$.

Chứng minh: $$\sum \frac{(1-x)^{2}}{(1-yz)^{2}}\geq \frac{27}{16}$$


"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#2
caobo171

caobo171

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

Ta thấy bất đẳng thức đã cho tương đương với : 
$\sum(\frac{(1-x)^2}{(1-yz)^2}-\frac{9}{16})=\sum(\frac{16(1-x)^2-9(1-yz)^2}{16(1-yz)^2})\geq 0 $
. Giả sử $x\geq y\geq z$
. Ta thấy :
$\frac{1}{(1-yz)^2}\leq \frac{1}{(1-xz)^2}\leq\frac{1}{(1-zx)^2}$
$16(1-x)^2-9(1-yz)^2\leq 16(1-y)^2-9(1-zx)^2\leq 16(1-z)^2-9(1-xy)^2$
Áp dụng bất đẳng thức chebysev cho hai dãy trên  
Ta cần chứng minh 
$\sum16(1-x)^2-9(1-yz)^2$
. Bất đẳng thức này khá lỏng :)
Chỉ cần sử dụng bất đẳng thức Schur bậc 3 : $(a+b+c)^3+9abc\geq 4(ab+bc+ca)(a+b+c)$
và bất đẳng thức : $\sum a^2b^2\geq abc(a+b+c)$ 
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt, inex, 2016

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh