Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=1$.
Chứng minh: $$\sum \frac{(1-x)^{2}}{(1-yz)^{2}}\geq \frac{27}{16}$$
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=1$.
Chứng minh: $$\sum \frac{(1-x)^{2}}{(1-yz)^{2}}\geq \frac{27}{16}$$
Ta thấy bất đẳng thức đã cho tương đương với :
$\sum(\frac{(1-x)^2}{(1-yz)^2}-\frac{9}{16})=\sum(\frac{16(1-x)^2-9(1-yz)^2}{16(1-yz)^2})\geq 0 $
. Giả sử $x\geq y\geq z$
. Ta thấy :
$\frac{1}{(1-yz)^2}\leq \frac{1}{(1-xz)^2}\leq\frac{1}{(1-zx)^2}$
$16(1-x)^2-9(1-yz)^2\leq 16(1-y)^2-9(1-zx)^2\leq 16(1-z)^2-9(1-xy)^2$
Áp dụng bất đẳng thức chebysev cho hai dãy trên
Ta cần chứng minh
$\sum16(1-x)^2-9(1-yz)^2$
. Bất đẳng thức này khá lỏng
Chỉ cần sử dụng bất đẳng thức Schur bậc 3 : $(a+b+c)^3+9abc\geq 4(ab+bc+ca)(a+b+c)$
và bất đẳng thức : $\sum a^2b^2\geq abc(a+b+c)$
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $abc(a-1)(b-1)(c-1)\leq 8$Bắt đầu bởi kakachjmz, Hôm qua, 23:44 thcs, toán chuyên, hsg 9, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm $Max, Min$ của $A = xy + yz + zx + \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$ biết $3(x^2 + y^2 + z^2) + xy + yz + zx = 12$Bắt đầu bởi kakachjmz, 20-04-2024 hsg, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh