Chủ đề này có 2 trả lời

[meathmenmen]

Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$ . Chứng minh rằng $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}b^{2}c^{2}}=\frac{(ab+bc+ca)(a+b+c)}{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}}$

[lenhatsinh3]

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)=abc\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(a+c)=a^{3}+b^{3}+c^{3} & & \\ (ab+ac+bc)^{3}=a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}+3abc(a+b)(b+c)(a+c)=a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3} & & \end{matrix}\right.$

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}b^{2}c^{2}}=\frac{(a+b+c)(ab+ac+bc)}{a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+a^{3}c^{3}}$

$\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+a^{3}c^{3})=a^{2}b^{2}c^{2}((a+b+c)(ab+ac+bc))$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^{3}(ab+bc+ac)^{3}=a^{3}b^{3}c^{3}(Đ)$

[audreyrobertcollins]

sau một số phép biến đổi bạn được đk và bt như thế này$(ab+bc+ac)(a+b+c)=abc ; \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(abc)^{2}}=\frac{abc}{ab^{3}+bc^{3}+ac^{3}}$

hay ta cần cm đẳng thức $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})=1$(tự biến đổi)

ta có $a^{3}+b^{3}+c^{3})=(a+b+c)^{3};bc^{3}+ac^{3}+ab^{3}=(ab+bc+ac)^{3}$(tự cm  nhé nhớ sử dụng đk)

bây giờ bạn lắp vào là ra