Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: Trung điểm $EF$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định.

- - - - - hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ cố định nội tiếp $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm, $P$ là 1 điểm di động trên $(BHC)$.$PB$ cắt đường thẳng qua $C$ vuông góc với $AC$ tại $E$. $PC$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với AB tại $F$. Chứng minh rằng: Trung điểm $EF$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định.


                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2
caobo171

caobo171

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ cố định nội tiếp $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm, $P$ là 1 điểm di động trên $(BHC)$.$PB$ cắt đường thẳng qua $C$ vuông góc với $AC$ tại $E$. $PC$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với AB tại $F$. Chứng minh rằng: Trung điểm $EF$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định.

Gọi giao điểm của đường thẳng qua B // AC và đường thẳng qua C// AB cắt nhau tại X. Gọi BX là giao đường thẳng qua C vuông góc với AC tại M, CX giao đường thẳng qua B vuông góc với AB tại N, ta thấy MN cố định , ta đi chứng minh MN đi qua trung điểm của EF. Ta gọi EF cắt MN tại G . Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác YEF ( Y là giao của CM và BN) với N, G , M thẳng hàng , Ta có : 
$\frac{MF}{MY}.\frac{GE}{GF}.\frac{NY}{NE}$=1 (1)
Lại có ta chứng minh được tam giác NEC đồng dạng với tam giác MFB ( g.g) nên 
$\frac{NE}{MF}=\frac{NC}{MB}=\frac{NY}{MY}$  (2)
từ (1) và (2) ta suy ra GE= GF suy ra điều phải chứng minh 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh