Cho a,b là hai số thực phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoaiBao: 10-06-2016 - 21:13
Cho a,b là hai số thực phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.
bài toán phụ: cho $a,b$ là 2 số hữu tỉ phân biệt sao cho $a^n-b^n\in Z+$ thì $a,b$ cũng là số nguyên
trở lại bài toán dễ dàng cm được $a,b$ là số hữu tỉ áp dụng bài toán trên --> đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathstu: 11-06-2016 - 00:43
Họ cười tôi vì tôi khác họ
Tôi cười họ vì tôi mắc cười
Với việc đặt $x_n=a^n-b^n \in \mathbb{Z} ,\forall n \in \mathbb{N^*}$ . Ta có $\frac{\frac{x_2}{x_1} \pm x_1}{2}=a,b$ . Bài toán sẽ hoàn tất nếu một trong $a,b$ có một số là nguyên
Giả sử $a$ không nguyên
Ta có đặt $a=\frac{p}{q},(p,q)=1,|q|>1$ . Ta có tồn tại $m \in \mathbb{N},q^m||a-b$ . Xét
$(x_1+\frac{p}{q})^n-(\frac{p}{q})^n=x_n \Leftrightarrow (x'q^{m+1}+p)^n-p^n=q^nx_n$
Chia $2$ vế cho $q^{m+1} \Rightarrow \sum_{i=0}^{n-1} C_n^i p^i.x'^{n-i}.q^{(m+1)(n-i-1)}=q^{m-n-1}.x_n$
Với $m>n+1$ thì $q|x'p^{n-1}n $. Mà $(p,q)=1$ . Chọn $n=(m+2)|q|+1$ ta có $q'|x$ (vô lí) . Suy ra $|q|=1$ suy ra $a$ nguyên dẫn đến $b$ nguyên
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
$\binom{2n-m-1}{2n-2m-1}-\binom{n-1}{m}=\sum_{k}\sum _{j}\binom{k+j}{k}\binom{2n-m-2k-j-3}{2(n-m-k-1)}$Bắt đầu bởi HoaiBao, 27-08-2016 42 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tính tổng: $\sum_{k=0}^{2n}{(-2)^k\binom{2n+k}{2n-k}}$Bắt đầu bởi HoaiBao, 06-08-2016 42 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Bulgari_1995 Problem 6 Round 3Bắt đầu bởi HoaiBao, 02-08-2016 42 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Cho $n$ là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng $((n-1)^n+1)^2\mid n(n-1)^{(n-1)^n+1}+n$.Bắt đầu bởi HoaiBao, 09-06-2016 42 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: $(x-1)!+1=x^k$Bắt đầu bởi HoaiBao, 07-06-2016 42 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh