Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b là hai số thức phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.

- - - - - 42

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
HoaiBao

HoaiBao

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Cho a,b là hai số thực phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoaiBao: 10-06-2016 - 21:13


#2
mathstu

mathstu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Cho a,b là hai số thực phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.

bài toán phụ: cho $a,b$ là 2 số hữu tỉ phân biệt sao cho $a^n-b^n\in Z+$ thì $a,b$ cũng là số nguyên

lời giải

trở lại bài toán dễ dàng cm được $a,b$ là số hữu tỉ áp dụng bài toán trên --> đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathstu: 11-06-2016 - 00:43

Họ cười tôi vì tôi khác họ    

             

             Tôi cười họ vì tôi mắc cười    >:)  >:)  >:) 


#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

 Với việc đặt $x_n=a^n-b^n \in \mathbb{Z} ,\forall n \in \mathbb{N^*}$ . Ta có $\frac{\frac{x_2}{x_1} \pm x_1}{2}=a,b$ . Bài toán sẽ hoàn tất nếu một trong $a,b$ có một số là nguyên 
Giả sử $a$ không nguyên 
Ta có đặt $a=\frac{p}{q},(p,q)=1,|q|>1$ . Ta có tồn tại $m \in \mathbb{N},q^m||a-b$ . Xét 
$(x_1+\frac{p}{q})^n-(\frac{p}{q})^n=x_n \Leftrightarrow (x'q^{m+1}+p)^n-p^n=q^nx_n$ 
Chia $2$ vế cho $q^{m+1} \Rightarrow \sum_{i=0}^{n-1} C_n^i p^i.x'^{n-i}.q^{(m+1)(n-i-1)}=q^{m-n-1}.x_n$ 
Với $m>n+1$ thì $q|x'p^{n-1}n $. Mà $(p,q)=1$ . Chọn $n=(m+2)|q|+1$ ta có $q'|x$ (vô lí) . Suy ra $|q|=1$ suy ra $a$ nguyên dẫn đến $b$ nguyên 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 42

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh