Chủ đề này có 13 trả lời

[duong7cvl]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                      KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

              PHÚ THỌ                                 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

                                                                                          NĂM HỌC: 2016 - 2017

                                                                                                                           MÔN THI: TOÁN                                                                                                                                                            Thời gian làm bài : 150 phút

                                                                                                    (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Câu 1(2đ)

a, Cho các số a,b thoả mãn $2a^2+11ab-3b^2=0,b\neq 2a,b\neq -2a$.Tính giá trị biểu thức:

                                      $T=\frac{a-2b}{2a-b}+\frac{2a-3b}{2a+b}$
b,Cho các số nguyên duơng x,y,z và biểu thức

                      $P=\frac{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}{x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2xyz}$

CMR: P là 1 số nguyên chia hết cho 6

Câu 2(2đ)

a, Tìm các số nguyên x,y thoả mãn $2x^3+2x^2y+x^2+2xy=x+10$

b, Cho 19 điểm phân biệt nằm trong 1 tam giác đều có cạnh bằng 3,trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.CMR: luôn tìm dc 1 tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 19 điểm đã cho mà có diện tích không  lớn hơn $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Câu 3(3đ)

a, GPT: $\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-3}=2$

b, Giải HPT: $\left\{\begin{matrix} 2x^3+x^2y &+2x^2+xy+6 &=0 \\ x^2& + 3x + y & =1 \end{matrix}\right.$

Câu 4(3đ)

Cho đuờng tròn (O;R) và dây cung BC cố định.Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn.Bên ngoài tam giác ABC dựng các hình vuông ABDE, ACFG và hình bình hành AEKG.

a, CMR: AK=BC và AK vuông góc BC

b, DC cắt BF tại M . CMR: A,K,M thẳng hàng

c, CMR: khi A thay đổi trên cung lớn BC của (O;R) thì K luôn thuộc 1 đuờng tròn cố định

Câu 5(1đ)

Cho các số duơng x,y. Tìm GTNN của biểu thức 

$P=\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{(x+2y)^3+1}-1}+\frac{(2x+y)(x+2y)}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong7cvl: 11-06-2016 - 11:41

[nguyenduy287]

câu 2b có vẻ thú vị  

chia tam giác đều trên thành 9 tam giác đều khác có cạnh bằng 1 ( hiển nhiên là chia mỗi cạnh ra 3 đoạn 1,1,1 )

khi đó theo nguyên lí dirichle ta thấy tồn tại ít nhất 1 tam giác chứa 3 điểm 

diện tích mỗi tam giác đều cạnh 1 là $\frac{\sqrt{3}}{4}$ nên diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm trên sẽ không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{4}$

(đpcm )

[nguyenduy287]

câu 3a pt: đặt $\sqrt{2x+1}=a$    $\sqrt{x-3}=b$ (đk x$\geq 3$)

ta có hệ $\left\{\begin{matrix}a-b=2 \\ a^2-2b^2=-5 \end{matrix}\right.$

giải hệ ta ra nghiệm của pt  

[Thislife]

 

Câu 5(1đ)

Cho các số duơng x,y. Tìm GTNN của biểu thức 

$P=\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{(x+2y)^3+1}-1}+\frac{(2x+y)(x+2y)}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$

Ta có :$P \geq \frac{4}{(2x+y)^2} +\frac{4}{(x+2y)^2} +\frac{(2x+y)(x+2y)}{4} -\frac{8}{3(x+y)}$

Sau khi đặt (2x+y,x+2y) thành (a,b) ta được :

$ P \geq \frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} +\frac{ab}{4} -\frac{8}{a+b} \geq \frac{8}{ab} +\frac{ab}{4}-\frac{4}{\sqrt{ab}} \geq 2 +4(\frac{1}{\sqrt{ab}} -\frac{1}{2} )^2 -1 \geq 1 $

[Dinh Xuan Hung]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                      KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

              PHÚ THỌ                                 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

                                                                                          NĂM HỌC: 2016 - 2017

                                                                                                                           MÔN THI: TOÁN                                                                                                                                                            Thời gian làm bài : 150 phút

                                                                                                    (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)

 

Câu 5(1đ)

Cho các số duơng x,y. Tìm GTNN của biểu thức 

$P=\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{(x+2y)^3+1}-1}+\frac{(2x+y)(x+2y)}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

 

$\left ( 2x+y \right )^3+1=\left ( 2x+y+1 \right )\left [ (2x+y)^2-(2x+y)+1 \right ]\leq \left ( \frac{\left ( 2x+y \right )^2+2}{2} \right )^2$

 

$\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}\geq \frac{4}{(2x+y)^2}$

 

Chứng minh tương tự ta cũng có: 

 

$\frac{2}{\sqrt{(x+2y)^3+1}-1}\geq \frac{4}{(x+2y)^2}$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{4}{(2x+y)^2}+\frac{4}{(x+2y)^2}+\frac{\left ( 2x+y \right )\left ( x+2y \right )}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$

 

$\geq \frac{8}{(2x+y)(y+2x)}+\frac{(2x+y)(y+2x)}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$

 

$=\frac{4}{(2x+y)(y+2x)}+\left ( \frac{4}{(2x+y)(y+2x)}+\frac{(2x+y)(y+2x)}{4} \right )-\frac{8}{3(x+y)}$

 

$\geq \frac{16}{9(x+y)^2}-\frac{8}{3(x+y)}+2$

 

Đặt $t=x+y$ ($t>0$)

 

Ta sẽ đi CM:$\frac{16}{9t^2}-\frac{8}{3t}+2\geq 1\Leftrightarrow \frac{16}{9t^2}+1\geq \frac{8}{3t}\Leftrightarrow t(3t-4)^2\geq 0 (\textrm{LĐ})$

 

Do đó GTNN của P là $1$ khi $x=y=\frac{2}{3}$

[HDuonga3frv]

mn xem đề tin đi

 

[Baoriven]

Câu 3b:

Thế $y=1-3x-x^2$ vào (1) và đặt $a=x^2+x$

Ta được: $a(-a+1)+6=0\Leftrightarrow a=3; a=-2$

Từ đó giải được nghiệm (x;y)

[anhminhnam]

1b/ nhìn thú vị

$P=\frac{3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=3(x+y)(y+z)(z+x)$ là một số nguyên chia hết 3

theo nguyên lí dirichle thì trong 3 số nguyên x,y,z sẽ có 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên trong x+y  y+z z+x tồn tại nhóm chia hết cho 2 suy ra $P$ chia hết cho 2

Vậy P chia hết cho 6

Câu 2 a bác nào chỉ cách giải ngắn xem, chứ thử 8 trường hợp của x nhác quá =)))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhnam: 12-06-2016 - 16:51

[anhminhnam]

Câu a)

$\angle KEA=180-\angle EAG=\angle BAC; AB=EA;EK=AC \Leftrightarrow \Delta AEK= \Delta BAC$ (c,.g.c) =>KH=BC

Kẻ AH là đường cao ứng BC. Ta có $\angle KAH=\angle EAK+90+\angle BAH= \angle B+90+90-\angle B=180$

suy ra K,A, H thẳng hàng => KH vuông góc BC 

Vậy KH vừa vuông góc vừa = BC (đpcm)

[HDuonga3frv]

1b/ nhìn thú vị
$P=\frac{3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=3(x+y)(y+z)(z+x)$ là một số nguyên chia hết 3
theo nguyên lí dirichle thì trong 3 số nguyên x,y,z sẽ có 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên trong x+y y+z z+x tồn tại nhóm chia hết cho 2 suy ra $P$ chia hết cho 2
Vậy P chia hết cho 6
Câu 2 a bác nào chỉ cách giải ngắn xem, chứ thử 8 trường hợp của x nhác quá =)))

[HDuonga3frv]

Mẫu phải là (x+y)(y+z)(z+x) chứ bạn

[letnotfallinlove]

1b/ nhìn thú vị

$P=\frac{3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=3(x+y)(y+z)(z+x)$ là một số nguyên chia hết 3

theo nguyên lí dirichle thì trong 3 số nguyên x,y,z sẽ có 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên trong x+y  y+z z+x tồn tại nhóm chia hết cho 2 suy ra $P$ chia hết cho 2

Vậy P chia hết cho 6

Câu 2 a bác nào chỉ cách giải ngắn xem, chứ thử 8 trường hợp của x nhác quá =)))

2a rút ẩn theo ẩn còn lại

[Kiratran]

Câu b, chứng minh $M$ là trực tâm $\triangle KBC$
Câu c vẽ hbh $AKSO$
dễ cm $S$ cố định
$AO=R=KS$

=> $K$ nằm trên đường tròn $(S,R)$ cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kiratran: 12-05-2017 - 18:36

[Tea Coffee]

Em đóng góp bài phương trình nghiệm nguyên (không biết có dài dòng ko ><)

Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x^3+2x^2.y+x^2+2xy=x+10

Từ đó, đc 2xy(x+1)+x^2(x+1)+x^3-x=10

<=>(x+1)(x^2+2xy) +x(x-1)(x+1)=10

<=>(x+1)(x^2+2xy+x^2-x)=10

tiếp tục à