Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $(NH)$ tiếp xúc $(AEF)$

- - - - - hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết

Bài toán. (Thầy Trần Quang Hùng} Cho tam giác $ABC$, đường kính $AD$. Phân giác $AL(L$ thuộc $BC).E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $CE=CL,BE=BL.(AEF)$ cắt $AD$ tại $K$. Kẻ $KH\perp BC.DH$ cắt đường cao ứng với đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ tại $N$. Chứng minh rằng $(NH)$ tiếp xúc $(AEF).$ 

Hint

=))

Post 207.png

Hình vẽ bài toán

P/s


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 14-06-2016 - 08:28
Thanks SinCosTan


#2
Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Lời giải của mình :

Ta có bổ đề: Cho tam giác $ABC$. $I$ là tâm nội tiếp. Lấy $P$ sao cho $IP$ vuông góc $IA$. $Q$ là điểm liên hợp đẳng giác của $P$. $AP$ cắt $(ABC)$ tại $R$. Thì $I$ là tâm nội tiếp của $AQR

Bổ đè đã được chứng minh ở đây http://diendantoanho...1-tháng-102015/

Bổ đề 2 là một bổ đề quen thuộc: Cho $P$, $Q$ đẳng giác trong tam giác $ABC$. $AQ$ cắt $(ABC)$ tại $T$. $TQ$ cắt $BC$ tại $R$ thì $AQ$ $//$ $PR$

(Chứng minh bởi Phan Anh Quân ).

Trở lại bài toán:

Dễ dàng chứng minh tâm $(AEF)$ nằm trên $AO$

Ta có: $X$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$.Ta có $\frac{XL}{XA}$ $=$ $\frac{LC}{AC}. \frac{LC}{AC}$ (1). Gọi $P$ là hình chiếu của $K$ lên $AX$ thì từ (1) và theo $thales$ ta có $XL.XA$ $=$ $XP$.$XP$ nên $P$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$.

Áp dụng bổ đề 2 ta có $N$ và $K$ liên hợp đẳng giác nên tiếp tục áp dụng bổ đề 1 ta có $P$ là tâm nội tiếp $ANT$ mặt khác ta có $AFPE$ nội tiếp và theo tính chất đối xứng ta có $dist$ $P$/$AN$ $=$ $dist$ $P$/ $KH$ Nên $ANHK$ ngoại tiếp mà $KH$ $//$ $AN$ nên $\measuredangle NPH$ $=$ $90$

Vậy ta có $(NH)$ và $(AEF)$ cắt nhau tại $P$ và tâm của chúng đều nằm trên trung trực $EF$ nên ta có $DPCM$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh