Lời giải của mình :
Ta có bổ đề: Cho tam giác $ABC$. $I$ là tâm nội tiếp. Lấy $P$ sao cho $IP$ vuông góc $IA$. $Q$ là điểm liên hợp đẳng giác của $P$. $AP$ cắt $(ABC)$ tại $R$. Thì $I$ là tâm nội tiếp của $AQR
Bổ đè đã được chứng minh ở đây http://diendantoanho...1-tháng-102015/
Bổ đề 2 là một bổ đề quen thuộc: Cho $P$, $Q$ đẳng giác trong tam giác $ABC$. $AQ$ cắt $(ABC)$ tại $T$. $TQ$ cắt $BC$ tại $R$ thì $AQ$ $//$ $PR$
(Chứng minh bởi Phan Anh Quân ).
Trở lại bài toán:
Dễ dàng chứng minh tâm $(AEF)$ nằm trên $AO$
Ta có: $X$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$.Ta có $\frac{XL}{XA}$ $=$ $\frac{LC}{AC}. \frac{LC}{AC}$ (1). Gọi $P$ là hình chiếu của $K$ lên $AX$ thì từ (1) và theo $thales$ ta có $XL.XA$ $=$ $XP$.$XP$ nên $P$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$.
Áp dụng bổ đề 2 ta có $N$ và $K$ liên hợp đẳng giác nên tiếp tục áp dụng bổ đề 1 ta có $P$ là tâm nội tiếp $ANT$ mặt khác ta có $AFPE$ nội tiếp và theo tính chất đối xứng ta có $dist$ $P$/$AN$ $=$ $dist$ $P$/ $KH$ Nên $ANHK$ ngoại tiếp mà $KH$ $//$ $AN$ nên $\measuredangle NPH$ $=$ $90$
Vậy ta có $(NH)$ và $(AEF)$ cắt nhau tại $P$ và tâm của chúng đều nằm trên trung trực $EF$ nên ta có $DPCM$