2 replies to this topic

[Baoriven]

Cho a,b,c dương thỏa  mãn: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\leq 3$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+2ab}+\frac{1}{1+2bc}+\frac{1}{1+2ca}\leq 1$

[leminhnghiatt]

Cho a,b,c dương thỏa  mãn: $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\leq 3$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+2ab}+\frac{1}{1+2bc}+\frac{1}{1+2ca}\leq 1$

 

Ta có: $\dfrac{1}{1+2ab} \leq \dfrac{1}{9}(1+\dfrac{2}{ab})$

 

$\sum \dfrac{1}{1+2ab} \leq \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}) \leq 1$

 

Dấu "=" $a=b=c=1$ 

[Baoriven]

Cách C-S của bạn leminhnghiatt đúng và ngắn gọn.

Đóng góp cách dùng Chebyshev.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\frac{a}{a+2abc}+\frac{b}{b+2abc}+\frac{c}{c+2abc}\leq 1$

không mất tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$ . khi đó ta có: $a+2abc\geq b+2abc\geq c+2abc$

và $\frac{a}{a+2abc}\geq \frac{b}{b+2abc}\geq \frac{c}{c+2abc}$

Dùng Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều trên ta được:

$3(a+b+c)\geq (a+b+c+6abc)(\frac{a}{a+2abc}+\frac{b}{b+2abc}+\frac{c}{c+2abc})$

Suy ra: 

$\frac{1}{1+2ab}+\frac{1}{1+2bc}+\frac{1}{1+2ca}\leq \frac{3(a+b+c)}{a+b+c+6abc}\leq 1$

BĐT cuối cùng đúng vì điều kiện đã cho.

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1