Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn : $f(f(x)+3y)=12x+f(f(y)-x)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 19-06-2016 - 18:27
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn : $f(f(x)+3y)=12x+f(f(y)-x)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 19-06-2016 - 18:27
Bài này thực sự rất ảo diệu . Trước tiên đặt $f(0)=a$
$$P(x,\frac{-f(x)}{3}) => a = 12x + f(-f(\frac{f(x)}{3})-x)$$
nên $f$ là toàn ánh
Giả sử tồn tại $y,z \in R$ mà
$$f(y)=f(z)=c$$
$$f(f(x)+3y)=f(f(x)+3z)$$
$$f(f(x)+3z)=f(f(x)+3z+3(y-z))$$
Do $f(x)$ toàn ánh , đặt $y-z=b$ thì $f$ tuần hoàn chu kì $b$ điều này không thể . Do đó $f$ đơn ánh , thay $x=0$ suy ra $f(x) = 3x+a$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 06-08-2016 - 20:42
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Bạn giải thích hộ mình chỗ mà hàm tuần hoàn chu kì b tại sao lại vô lý với! Có phải khi đó thì f là hằng số không?Bài này thực sự rất ảo diệu . Trước tiên đặt $f(0)=a$
$$P(x,\frac{-f(x)}{3}) => a = 12x + f(-f(\frac{f(x)}{3})-x)$$
nên $f$ là toàn ánh
Giả sử tồn tại $y,z \in R$ mà
$$f(y)=f(z)=c$$
$$f(f(x)+3y)=f(f(x)+3z)$$
$$f(f(x)+3z)=f(f(x)+3z+3(y-z))$$
Do $f(x)$ toàn ánh , đặt $y-z=b$ thì $f$ tuần hoàn chu kì $b$ điều này không thể . Do đó $f$ đơn ánh , thay $x=0$ suy ra $f(x) = 3x+a$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tunglamlqddb: 07-08-2016 - 11:14
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Bài này thực sự rất ảo diệu . Trước tiên đặt $f(0)=a$
$$P(x,\frac{-f(x)}{3}) => a = 12x + f(-f(\frac{f(x)}{3})-x)$$
nên $f$ là toàn ánh
Giả sử tồn tại $y,z \in R$ mà
$$f(y)=f(z)=c$$
$$f(f(x)+3y)=f(f(x)+3z)$$
$$f(f(x)+3z)=f(f(x)+3z+3(y-z))$$
Do $f(x)$ toàn ánh , đặt $y-z=b$ thì $f$ tuần hoàn chu kì $b$ điều này không thể . Do đó $f$ đơn ánh , thay $x=0$ suy ra $f(x) = 3x+a$
Phần chứng minh đơn ánh của anh vẫn chưa chặt vì cho dù hàm có tuần hoàn thì vẫn có thể là toàn ánh vì lực lượng của tập $(x;y)$ với $x<y$ bất kì có thể bằng cả lực lượng của tập $R$, đây là một cách chứng minh khác:
Giả sử $f$ tuần hoàn chu kì $L$, thay $x$ bằng $x-L$ ta có:
$12x+f(f(y)-x)=f(f(x)+3y)=f(f(x-L)+3y)=12(x-L)+f(f(y)-x+L)=12(x-L)+f(f(y)-x)$ $\Rightarrow$ $L=0$ hay $y=z$ nên $f$ là đơn ánh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 16-08-2016 - 19:54
Phần chứng minh đơn ánh của anh vẫn chưa chặt vì cho dù hàm có tuần hoàn thì vẫn có thể là toàn ánh vì lực lượng của tập $(x;y)$ với $x<y$ bất kì có thể bằng cả lực lượng của tập $R$, đây là một cách chứng minh khác:
Giả sử $f$ tuần hoàn chu kì $L$, thay $x$ bằng $x-L$ ta có:
$12x+f(f(y)-x)=f(f(x)+3y)=f(f(x-L)+3y)=12(x-L)+f(f(y)-x+L)=12(x-L)+f(f(y)-x)$ $\Rightarrow$ $L=0$ hay $y=z$ nên $f$ là đơn ánh
Um Bài này anh xem lại và nó được chế biến từ đề dự tuyển IMO $2002$ đề gốc là tìm $f : R \to R$ thỏa mãn $f(f(x)+y))=2x+f(f(y)-x)$ , cách giải thì khác thế này .
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh