Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn : $f(f(x)+3y)=12x+f(f(y)-x)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
trungvu1431

trungvu1431

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn : $f(f(x)+3y)=12x+f(f(y)-x)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 19-06-2016 - 18:27


#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Bài này thực sự rất ảo diệu . Trước tiên đặt $f(0)=a$ 

$$P(x,\frac{-f(x)}{3}) => a = 12x + f(-f(\frac{f(x)}{3})-x)$$

nên $f$ là toàn ánh

Giả sử tồn tại $y,z \in R$ mà

$$f(y)=f(z)=c$$

$$f(f(x)+3y)=f(f(x)+3z)$$

$$f(f(x)+3z)=f(f(x)+3z+3(y-z))$$

Do $f(x)$ toàn ánh , đặt $y-z=b$ thì $f$ tuần hoàn chu kì $b$ điều này không thể . Do đó $f$ đơn ánh , thay $x=0$ suy ra $f(x) = 3x+a$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 06-08-2016 - 20:42

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#3
tunglamlqddb

tunglamlqddb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết

Bài này thực sự rất ảo diệu . Trước tiên đặt $f(0)=a$
$$P(x,\frac{-f(x)}{3}) => a = 12x + f(-f(\frac{f(x)}{3})-x)$$
nên $f$ là toàn ánh
Giả sử tồn tại $y,z \in R$ mà
$$f(y)=f(z)=c$$
$$f(f(x)+3y)=f(f(x)+3z)$$
$$f(f(x)+3z)=f(f(x)+3z+3(y-z))$$
Do $f(x)$ toàn ánh , đặt $y-z=b$ thì $f$ tuần hoàn chu kì $b$ điều này không thể . Do đó $f$ đơn ánh , thay $x=0$ suy ra $f(x) = 3x+a$

Bạn giải thích hộ mình chỗ mà hàm tuần hoàn chu kì b tại sao lại vô lý với! Có phải khi đó thì f là hằng số không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tunglamlqddb: 07-08-2016 - 11:14


#4
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết
Toàn ánh thì không thể tuần hoàn

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#5
JUV

JUV

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 138 Bài viết

Bài này thực sự rất ảo diệu . Trước tiên đặt $f(0)=a$ 

$$P(x,\frac{-f(x)}{3}) => a = 12x + f(-f(\frac{f(x)}{3})-x)$$

nên $f$ là toàn ánh

Giả sử tồn tại $y,z \in R$ mà

$$f(y)=f(z)=c$$

$$f(f(x)+3y)=f(f(x)+3z)$$

$$f(f(x)+3z)=f(f(x)+3z+3(y-z))$$

Do $f(x)$ toàn ánh , đặt $y-z=b$ thì $f$ tuần hoàn chu kì $b$ điều này không thể . Do đó $f$ đơn ánh , thay $x=0$ suy ra $f(x) = 3x+a$ 

Phần chứng minh đơn ánh của anh vẫn chưa chặt vì cho dù hàm có tuần hoàn thì vẫn có thể là toàn ánh vì lực lượng của tập $(x;y)$ với $x<y$ bất kì có thể bằng cả lực lượng của tập $R$, đây là một cách chứng minh khác:

Giả sử $f$ tuần hoàn chu kì $L$, thay $x$ bằng $x-L$ ta có:

$12x+f(f(y)-x)=f(f(x)+3y)=f(f(x-L)+3y)=12(x-L)+f(f(y)-x+L)=12(x-L)+f(f(y)-x)$ $\Rightarrow$ $L=0$ hay $y=z$ nên $f$ là đơn ánh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 16-08-2016 - 19:54


#6
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Phần chứng minh đơn ánh của anh vẫn chưa chặt vì cho dù hàm có tuần hoàn thì vẫn có thể là toàn ánh vì lực lượng của tập $(x;y)$ với $x<y$ bất kì có thể bằng cả lực lượng của tập $R$, đây là một cách chứng minh khác:

Giả sử $f$ tuần hoàn chu kì $L$, thay $x$ bằng $x-L$ ta có:

$12x+f(f(y)-x)=f(f(x)+3y)=f(f(x-L)+3y)=12(x-L)+f(f(y)-x+L)=12(x-L)+f(f(y)-x)$ $\Rightarrow$ $L=0$ hay $y=z$ nên $f$ là đơn ánh

Um :) Bài này anh xem lại và nó được chế biến từ đề dự tuyển IMO $2002$ đề gốc là tìm $f : R \to R$ thỏa mãn $f(f(x)+y))=2x+f(f(y)-x)$ , cách giải thì khác thế này . 


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh