Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm đa thức P(x) thỏa mãn

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
hogwarts

hogwarts

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn:

$(x-1)P(x+1)-(x+1)P(x-1)=4P(x), \forall x\in \mathbb{R}$



#2
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn:

$(x-1)P(x+1)-(x+1)P(x-1)=4P(x), \forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $P(x)$ là đa thức hằng thì dễ thấy $P(x)=0 (\forall x)$ thỏa mãn.

 

Nếu $P(x)$ là không phải là đa thức hằng, không mất tính tổng quát giả sử P(x) là một đa thức có hệ số cao nhất là 1.

 

Giả sử $deg P =n$

 

Khi đó VT: hệ số cao nhất của đa thức là $2(n-1)x^n$ còn VP là $4x^n$ nên $n=3$.

 

Đặt: $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$, bằng đồng nhất hệ số ta được $a=c=0$, $b=-1$

 

Vì thế tất cả $P(x)$ thỏa mãn là $\boxed{P(x)=ax^3-ax}$ $\forall x$ với a là số thực nào đó.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 20-06-2016 - 21:01


#3
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Nếu $P(x)$ là đa thức hằng thì dễ thấy $P(x)=0 (\forall x)$ thỏa mãn.

 

Nếu $P(x)$ là không phải là đa thức hằng, không mất tính tổng quát giả sử P(x) là một đa thức có hệ số cao nhất là 1.

 

Giả sử $deg P =n$

 

Khi đó VT: hệ số cao nhất của đa thức là $2(n-1)x^n$ còn VP là $4x^n$ nên $n=3$.

 

Đặt: $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$, bằng đồng nhất hệ số ta được $a=c=0$, $b=-1$

 

Vì thế tất cả $P(x)$ thỏa mãn là $\boxed{P(x)=ax^3-ax}$ $\forall x$ với a là số thực nào đó.

 

Câu hỏi về kinh nghiệm/phương pháp giải: những "lớp" (dạng, ...) nào nên tấn công bằng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc bậc?


Đời người là một hành trình...


#4
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Câu hỏi về kinh nghiệm/phương pháp giải: những "lớp" (dạng, ...) nào nên tấn công bằng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc bậc?

 

Xin lỗi bạn mình chưa có kinh nghiệm về phương trình hàm đa thức, chỉ giải được một số bài quen thuộc là chủ yếu.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 24-06-2016 - 15:19


#5
tunglamlqddb

tunglamlqddb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết

Câu hỏi về kinh nghiệm/phương pháp giải: những "lớp" (dạng, ...) nào nên tấn công bằng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc bậc?


Bạn có thể trả lời câu hỏi của bạn được không?




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh