Cho $a,b,c >0:a+b+c=1$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\dfrac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\dfrac{3}{4}(a+b)^2$$
$P=\dfrac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\dfrac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\dfrac{3}{4}(a+b)^2$
#1
Đã gửi 23-06-2016 - 21:28
#2
Đã gửi 23-06-2016 - 22:06
Cho $a,b,c >0:a+b+c=1$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a^2}{(b+c)^2+5bc}+\dfrac{b^2}{(c+a)^2+5ca}-\dfrac{3}{4}(a+b)^2$$
Xét: $\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}+5bc}\geq \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}+\frac{5}{4}(b+c)^{2}}=\frac{4a^{2}}{9(b+c)^{2}}$
CMTT: $\frac{b^{2}}{(c+a)^{2}+5ca}\geq \frac{b^{2}}{(c+a)^{2}+\frac{5}{4}(c+a)^{2}}=\frac{4b^{2}}{9(c+a)^{2}}$
Ta có: $\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}+5bc}+\frac{b^{2}}{(c+a)^{2}+5ca}\geq \frac{2}{9}.(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a})^{2}=\frac{2}{9}(\frac{a^{2}+b^{2}+c(a+b)}{(ab+c(a+b)+c^{2})})^{2}\geq \frac{2}{9}.(\frac{2(a+b)^{2}+4c(a+b)}{(a+b)^{2}+4c(a+b)+4c^{2}})^{2}$
Do $a+b+c=1$
Nên: $P\geq \frac{8}{9}(\frac{c-1}{c+1})^{2}-\frac{3}{4}(1-c)^{2}$
Xét hàm $f_{(c)}=\frac{8}{9}(\frac{c-1}{c+1})^{2}-\frac{3}{4}(1-c)^{2}$
Đạo hàm $f_{(c)}^{'}=0\Leftrightarrow c=\frac{1}{3}$
Nhìn bảng biến thiên thì $f_{(c)}\geq f_{(\frac{1}{3})}=\frac{-1}{9}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 25-06-2016 - 11:42
- thinhrost1, leminhnghiatt và Dark Magician 2k2 thích
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh