Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho ước nguyên tố lớn nhất của $n^{2}+1$ lớn hơn $2n$.
Ước nguyên tố lớn nhất của $n^{2}+1$ lớn hơn $2n$.
Started By O0NgocDuy0O, 24-06-2016 - 11:08
#1
Posted 24-06-2016 - 11:08
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 posts
Trung úy
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Posted 12-08-2016 - 20:20
Minhnguyenthe333
-
- Thành viên
-
- 804 posts
Trung úy
Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho ước nguyên tố lớn nhất của $n^{2}+1$ lớn hơn $2n$.
Giả sử $p$ là số nguyên tố dạng $4k+1$
$\implies \left (\frac{-1}{p}\right )=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=1\iff \exists x\in \{1,2,3,...,p-1\}$ sao cho $x^2\equiv -1$ $(mod $ $p)$
Ta chọn $x$ thỏa mãn $\frac{p-1}{2}<x<p\iff x\geqslant \frac{p+1}{2}$.Đặt $q=p-x\implies q\in \left \{1,2,3,...,\frac{p-1}{2}\right \}$
Chú ý rằng $q^2 \equiv (p-q)^2=x^2\equiv -1$ $(mod$ $p)$
Do đó $p \mid q^2+1$ mà $p\geqslant 2q+1>2q$ nên ta có đpcm
Edited by Minhnguyenthe333, 12-08-2016 - 20:30.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
