Chủ đề này có 3 trả lời

[nhanvat]

 

 

Cầu người giải cho bài hình với bài cực trị =.=

[chinhtam0701]

Câu V Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y\le xy.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=\dfrac{1}{5x^2+7y^2}+\dfrac{1}{7x^2+5y^2}.$$

Giải.

Vì $x,y$ là các số thực dương nên từ điều kiện $x+y\le xy$ ta suy ra $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le 1.$

Ta có $(x-y)^2\ge 0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge 2xy.$ Do đó 

$$\dfrac{1}{5x^2+7y^2}=\dfrac{1}{5(x^2+y^2)+2y^2}\le \dfrac{1}{10xy+2y^2}.$$

Tương tự ta có $$\dfrac{1}{7x^2+5y^2}=\dfrac{1}{5(x^2+y^2)+2x^2}\le \dfrac{1}{10xy+2x^2}.$$

Từ đó suy ra

$P\le \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{5xy+y^2}+\dfrac{1}{5xy+x^2}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^2+y^2+10xy}{25x^2y^2+5xy(x^2+y^2)+x^2y^2}$

$\Rightarrow P\le \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^2+y^2+10xy}{25x^2y^2+5xy\cdot 2xy+x^2y^2}=\dfrac{1}{72}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{10}{xy}\right)=\dfrac{1}{72}\left[\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2+\dfrac{8}{xy}\right]$

$\Rightarrow P\le \dfrac{1}{72}\left[\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2+8\cdot\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\right]=\dfrac{1}{24}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le \dfrac{1}{24}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=2.$

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $\dfrac{1}{24}$, đạt được khi $x=y=2.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chinhtam0701: 25-06-2016 - 23:33

[nntien]

 

 

Cầu người giải cho bài hình với bài cực trị =.=

Có đề chuyên không bạn?

[nhanvat]

Có đề chuyên không bạn?

 

Đề chuyên ở trường chuyên á bạn? Có ạ