Đến nội dung

Hình ảnh

MAX: $P=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$.

Tìm MAX của $P=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$.

Tìm MAX của $P=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$

Đây là bài toán khá quen thuộc nên mình không muốn gõ lại, bạn xem ở đây nhé,    Bài 22


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 25-06-2016 - 15:39


#3
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$.

Tìm MAX của $P=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$

Giả sử $c=min(a,b,c)$ thì: 

$b^{2}-bc+c^{2}\leq b^{2}$ và $a^{2}-ca+c^{2}\leq a^{2}$

Suy ra: 

$P\leq a^{2}b^{2}(a^{2}-ab+b^{2})\leq \frac{4}{9}.(\frac{(a+b)^{2}}{3})^{3}\leq \frac{4}{9}.(\frac{(a+b+c)^{2}}{3})^{3}=12.$

Đẳng thức xảy ra khi : $a=2,b=1,c=0$ và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 25-06-2016 - 15:36

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#4
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$.

Tìm MAX của $P=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$

 

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng

\[(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)+11abc \leqslant 12.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#5
ngoalong131209

ngoalong131209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

mấy thánh jup jum` bài này vs 

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $0 \leq a,b,c \leq \dfrac{1}{2}$ và $a+b+c=1$. Chứng minh:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+4abc \leq \dfrac{9}{32}$



#6
ngoalong131209

ngoalong131209

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

mình đã tìm ra lời giải không biết đúng không các bạn góp ý jum`

VT=(a+b)($a^{2}$ -ab+ $b^{2}$)+$c^{3}$+4abc=(1-c)[$(a+b)^{2}$-3ab]+$c^{3}$+4abc=(1-c)[$(1-c)^{2}$-3ab]+$c^{3}$+4abc=$(1-c)^{3}$-3ab(1-c)+4abc+$c^{3}$=$(1-c)^{2}$-(1-c)c+$c^{2}$+ab(4c-3+3c)=3$c^{2}$-3c+ab(7c-3)+1$\leq$3$c^{2}$-3c+$\frac{(a+b)^{2}}{4}$(7c-3)=3$c^{2}$-3c+$\frac{(1-c)^{2}}{4}$(7c-3)=$\frac{7c^{3}-5c^{2}+c+1}{4}$ =$\frac{c^{2}(7c-5)+c+1}{4}$$\leq$$\frac{9}{32}$

=>VT$\leq$$\frac{9}{32}$

Dấu ''='' xảy ra <=> a=b=$\frac{1}{4}$,c=$\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoalong131209: 26-06-2016 - 10:21





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh