Chủ đề này có 2 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Cho các số thực $a,b,c\in [1,2]$. Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc.$

[vietanhthcstl]

k mất tinh tq gs a$\geq$b$\geq$c$\Rightarrow 2c\geq a\geq b\geq c.$ .Ta có

a^{3}+b^{3}+c^{3}-5abc\leq 2ca^{2}+b^{3}+c^{3}-5abc$=A

Ta cần cm A$\leq$0

Cố định b,c ta thấy A là 1 tam thức bậc 2 ẩn a có hệ số cao nhất dương mà a$\epsilon$[b,2c]

nên A đạt GTLN tại a=b hoặc a=2c

Do đó ta chỉ cần xét 2TH rồi cm trong cả 2TH đó A đều $\leq$ 0 là được

Mình áp dụng 1 bổ đề đó là 1tam thức bậc 2 có hệ số cao nhất dương và có biến x$\epsilon$ [m,n] thì nó đạt max và min tại x=m hoặc x=n 

[KietLW9]

Cho các số thực $a,b,c\in [1,2]$. Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc.$

Không mất tính tổng quát, giả sử $2\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant 1$

$\blacksquare $ Vì $a\in [1,2]$ nên $\left\{\begin{matrix}a-2\leqslant 0 & \\ a^2+2a-1\geqslant 1+2-1=2>0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow (a-2)(a^2+2a-1)\leqslant 0\Leftrightarrow a^3+2\leqslant 5a$ (1)

$\blacksquare $ Vì $2\geqslant a\geqslant b\geqslant  1$ nên $b^2+b+1\leqslant a^2+a+1\leqslant 2a+a+a=4a<5a\Rightarrow b^2+b+1-5a<0$

và $b-1\geqslant 0$ nên $(b-1)(b^2+b+1-5a)\leqslant 0\Leftrightarrow 5a+b^3\leqslant 5ab+1$ (2)

$\blacksquare $ Vì $2\geqslant a\geqslant c\geqslant 1$ nên $c^2+c+1\leqslant a^2+a+1\leqslant 2a+a+a=4a<5a<5ab\Rightarrow c^2+c+1-5ab<0$

và $c-1\geqslant 0$ nên $(c-1)(c^2+c+1-5ab)\leqslant 0\Leftrightarrow 5ab+c^3\leqslant 5abc+1$ (3)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=2;b=1;c=1$ và các hoán vị