Chủ đề này có 3 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ sao cho $n\mid 15^n+1$

[I Love MC]

Cách 1 : Xét $n>1$ thì gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ theo đề thì ta có 
$15^n \equiv -1 \pmod{p} \Rightarrow  15^{2n} \equiv 1 \pmod{p} \Rightarrow o_p(15) | 2n$ 
Mà ta có : $15^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$  nên $o_p(15)|p-1$ 
Suy ra $o_p(15) | gcd(2n,p-1)=2$  
Nên $15^2-1 \vdots p \Rightarrow p=7$  
Mà $15^n+1 \equiv 2 \pmod{7}$ 
Suy ra với $n>1$ thì vô nghiệm. 
Vậy $n=1$ 
Cách 2 : (Cách này lâu rồi mình lục lại nên cũng không hiểu một số bước) 
Ta thấy $n=1$ thì thỏa mãn . Xét $n>1$ thì gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ bé nhất của $n$  
Ta có bổ đề sau :  nếu $(a,b)=d$ và $a,b$ là các số dương thì tồn tại hai số nguyên dương $x,y$ sao cho $ax-by=d$
Ta có $(n,p-1)=1$  áp dụng bổ đề vậy thì tồn tại $x,y$ nguyên dương để $nx-(p-1)y=1$ 
$15^n+1 \vdots p \Rightarrow 15^n=pt-1$  ($t \in \mathbb{Z}$ ) 
Theo định lí Fermat nhỏ : $15^{p-1}-1=pu$ ($u \in \mathbb{Z}$ )  
Xét số $15.15^{(p-1)y}=15^{nx}$  
Suy ra $15.(1+pu)^y=(pt-1)^x$ dễ thấy $x$ lẻ vậy nên $p|16$ .Vô lí 

[the unknown]

Mình nghĩ bài toán tổng quát sau đây cũng đúng: Cho $m$ là một số nguyên dương, $m>1$. Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ để $n\mid (2^m-1)^n+1$.

[Minhnguyenthe333]

Mình nghĩ bài toán tổng quát sau đây cũng đúng: Cho $m$ là một số nguyên dương, $m>1$. Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $n$ để $n\mid (2^m-1)^n+1$.

Mình giải như sau:

Ta thấy $n=1$ thỏa mãn

Xét $n>1:$

Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ và gọi $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất để $p\mid (2^m-1)^k-1$

Áp dụng định lý Fermat nhỏ: $(2^m-1)^{p-1}-1 \equiv 0$ $(mod$ $p)$

Mặt khác: $(2^m-1)^{2n}-1=[(2^m-1)^n-1][(2^m-1)^n+1]$ nên $p \mid (2^m-1)^{2n}-1$

Do $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất nên $k\mid 2n$ và $k\mid p-1$

 

$TH1:k$ lẻ$=>k \mid n$ mà $k\leqslant p-1<p$

$=>k=1$ kéo theo $p \mid 2^m-2$ 

$TH2:k$ chẵn$=>k\mid n$, tương tự như trên $=>k=2$ kéo theo $p\mid 2^m(2^m-2)<=>p\mid 2^m-2$

 

Vậy cả 2 trường hợp đều cho $p\mid 2^m-2$

 

Từ giả thiết ta có: $(2^m-1)^n+1\equiv 0$ $(mod$ $p)$

Mà do $p\mid 2^m-2$ nên $(2^m-1)^n+1\equiv 2$ $(mod$ $p)$

 

Hai điều này mâu thuẫn nên chỉ có $n=1$ thỏa mãn điều kiện

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 27-06-2016 - 09:58