Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số nguyên dương thỏa mãn 4ab-1 là ước của (a+b-1)(a+b+1) thì a=b
Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số nguyên dương thỏa mãn 4ab-1 là ước của (a+b-1)(a+b+1) thì a=b
#1
Đã gửi 25-06-2016 - 20:18
#2
Đã gửi 25-06-2016 - 20:47
Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số nguyên dương thỏa mãn 4ab-1 là ước của (a+b-1)(a+b+1) thì a=b
Ta có: $4ab-1 \mid (a+b-1)(a+b+1)<=>4ab-1\mid (a-b)^2+(4ab-1)$
$<=>4ab-1 \mid (a-b)^2$.Đến đây ta đặt $k_0=\frac{(a-b)^2}{4ab-1}$
$<=>2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$.Ta tiếp túc đặt $k=2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$
Với $k=1$ ta có $k_0=0$ kéo theo $a=b$
Với $k>1:$
$PT<=>2a^2-4kba+2b^2-1=0$ $(*)$. Giả sử $a\geqslant b$ và $a+b$ nhỏ nhất
Theo định lí Viet $PT(*)$ còn nghiệm $t$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$
Suy ra $t$ là số nguyên dương và do tính nhỏ nhất của $a+b$ nên $t\geqslant a\geqslant b$
$=>2kb=t+a\leqslant 2t<=>2kab\leqslant 2ta<=>2ta\geqslant 2kb^2$
$<=>2b^2-1\geqslant 2kb^2<=>2b^2(1-k)\geqslant 1$ (vô lí)
Vậy ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 25-06-2016 - 20:54
- pl01 yêu thích
#3
Đã gửi 26-06-2016 - 13:01
Ta có: $4ab-1 \mid (a+b-1)(a+b+1)<=>4ab-1\mid (a-b)^2+(4ab-1)$
$<=>4ab-1 \mid (a-b)^2$.Đến đây ta đặt $k_0=\frac{(a-b)^2}{4ab-1}$
$<=>2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$.Ta tiếp túc đặt $k=2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$
Với $k=1$ ta có $k_0=0$ kéo theo $a=b$
Với $k>1:$
$PT<=>2a^2-4kba+2b^2-1=0$ $(*)$. Giả sử $a\geqslant b$ và $a+b$ nhỏ nhất
Theo định lí Viet $PT(*)$ còn nghiệm $t$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$
Suy ra $t$ là số nguyên dương và do tính nhỏ nhất của $a+b$ nên $t\geqslant a\geqslant b$
$=>2kb=t+a\leqslant 2t<=>2kab\leqslant 2ta<=>2ta\geqslant 2kb^2$
$<=>2b^2-1\geqslant 2kb^2<=>2b^2(1-k)\geqslant 1$ (vô lí)
Vậy ta có đpcm
Nếu $t$ là số nguyên dương $\Rightarrow ta=b^2-\frac{1}{2}$ là số nguyên dương, vô lí.
- pl01 yêu thích
#4
Đã gửi 26-06-2016 - 18:18
Ta có: $4ab-1 \mid (a+b-1)(a+b+1)<=>4ab-1\mid (a-b)^2+(4ab-1)$
$<=>4ab-1 \mid (a-b)^2$.Đến đây ta đặt $k_0=\frac{(a-b)^2}{4ab-1}$
$<=>2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$.Ta tiếp túc đặt $k=2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$
Với $k=1$ ta có $k_0=0$ kéo theo $a=b$
Với $k>1:$
$PT<=>2a^2-4kba+2b^2-1=0$ $(*)$. Giả sử $a\geqslant b$ và $a+b$ nhỏ nhất
Theo định lí Viet $PT(*)$ còn nghiệm $t$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$
Suy ra $t$ là số nguyên dương và do tính nhỏ nhất của $a+b$ nên $t\geqslant a\geqslant b$
$=>2kb=t+a\leqslant 2t<=>2kab\leqslant 2ta<=>2ta\geqslant 2kb^2$
$<=>2b^2-1\geqslant 2kb^2<=>2b^2(1-k)\geqslant 1$ (vô lí)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pl01: 26-06-2016 - 18:44
#5
Đã gửi 26-06-2016 - 18:48
Ta có: $4ab-1 \mid (a+b-1)(a+b+1)<=>4ab-1\mid (a-b)^2+(4ab-1)$
$<=>4ab-1 \mid (a-b)^2$.Đến đây ta đặt $k_0=\frac{(a-b)^2}{4ab-1}$
$<=>2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$.Ta tiếp túc đặt $k=2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$
Với $k=1$ ta có $k_0=0$ kéo theo $a=b$
Với $k>1:$
$PT<=>2a^2-4kba+2b^2-1=0$ $(*)$. Giả sử $a\geqslant b$ và $a+b$ nhỏ nhất
Theo định lí Viet $PT(*)$ còn nghiệm $t$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$
Suy ra $t$ là số nguyên dương và do tính nhỏ nhất của $a+b$ nên $t\geqslant a\geqslant b$
$=>2kb=t+a\leqslant 2t<=>2kab\leqslant 2ta<=>2ta\geqslant 2kb^2$
$<=>2b^2-1\geqslant 2kb^2<=>2b^2(1-k)\geqslant 1$ (vô lí)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Tại sao xét k=$2k_{0}+1$, có thể chứng minh a=b từ $k_{0}$ được không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pl01: 26-06-2016 - 18:49
#6
Đã gửi 26-06-2016 - 19:23
Ta có: $4ab-1 \mid (a+b-1)(a+b+1)<=>4ab-1\mid (a-b)^2+(4ab-1)$
$<=>4ab-1 \mid (a-b)^2$.Đến đây ta đặt $k_0=\frac{(a-b)^2}{4ab-1}$
$<=>2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$.Ta tiếp túc đặt $k=2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$
Với $k=1$ ta có $k_0=0$ kéo theo $a=b$
Với $k>1:$
$PT<=>2a^2-4kba+2b^2-1=0$ $(*)$. Giả sử $a\geqslant b$ và $a+b$ nhỏ nhất
Theo định lí Viet $PT(*)$ còn nghiệm $t$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$
Suy ra $t$ là số nguyên dương và do tính nhỏ nhất của $a+b$ nên $t\geqslant a\geqslant b$
$=>2kb=t+a\leqslant 2t<=>2kab\leqslant 2ta<=>2ta\geqslant 2kb^2$
$<=>2b^2-1\geqslant 2kb^2<=>2b^2(1-k)\geqslant 1$ (vô lí)
Vậy ta có đpcm
Bạn sai từ khúc quy đồng:
Tiếp tục phần $k>1$
Phương trình $ \iff 2a^2-4kba+2b^2-k=0$ (1)
Ta giả sử $a+b$ nhỏ nhất và $a > b$ (Vì nếu $a=b$ thì $k=1$)
Và theo Vi-et thì, tồn tại t sao cho:
$\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{k}{2}\end{matrix}\right.$
$ \Rightarrow a+b \le b+t \Rightarrow t \ge a > b$
$ \Rightarrow 2kb=t+a \le 2t \Rightarrow 2kab \le 2at$
Mà do (1) thì $2kab=a^2+b^2-\frac{k}{2}$ và $2at=2b^2-\frac{k}{2}$
Từ đây suy ra $b \ge a$ Vô lí
Vậy ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 26-06-2016 - 19:28
#7
Đã gửi 26-06-2016 - 19:24
Ta có: $4ab-1 \mid (a+b-1)(a+b+1)<=>4ab-1\mid (a-b)^2+(4ab-1)$
$<=>4ab-1 \mid (a-b)^2$.Đến đây ta đặt $k_0=\frac{(a-b)^2}{4ab-1}$
$<=>2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$.Ta tiếp túc đặt $k=2k_0+1=\frac{2(a^2+b^2)-1}{4ab-1}$
Với $k=1$ ta có $k_0=0$ kéo theo $a=b$
Với $k>1:$
$PT<=>2a^2-4kba+2b^2-1=0$ $(*)$. Giả sử $a\geqslant b$ và $a+b$ nhỏ nhất
Theo định lí Viet $PT(*)$ còn nghiệm $t$ sao cho: $\left\{\begin{matrix}t+a=2kb\\ ta=b^2-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$
Suy ra $t$ là số nguyên dương và do tính nhỏ nhất của $a+b$ nên $t\geqslant a\geqslant b$
$=>2kb=t+a\leqslant 2t<=>2kab\leqslant 2ta<=>2ta\geqslant 2kb^2$
$<=>2b^2-1\geqslant 2kb^2<=>2b^2(1-k)\geqslant 1$ (vô lí)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Tại sao xét k=$2k_{0}+1$, có thể chứng minh a=b từ $k_{0}$ được không?
Phép đặt chỉ để cho gọn thôi, bạn có thể không đặt vẫn làm được bình thường
- pl01 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh