Chủ đề này có 1 trả lời

[Baoriven]

Cho a,b,c thực thỏa mãn: $a^3+b^3+c^3-3abc=2$ và $a+b+c=2$.

Tìm GTLN của: $P=max[a,b,c]-min[a,b,c]$

[the unknown]

Cho a,b,c thực thỏa mãn: $a^3+b^3+c^3-3abc=2$ và $a+b+c=2$.

Tìm GTLN của: $P=max[a,b,c]-min[a,b,c]$

Ta có $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=2\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1$

Như vậy ta có: $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1 (1) \\ a+b+c=2\\ \end{matrix}\right.$.

Không mất tính tổng quát có thể giả sử $a=\max[a,b,c]$ và $c=\min[a,b,c]$.

Ta có $b=2-a-c$ và thay vào $(1)$ và biến đổi ta được $a^2+c^2+ac-2a-2b+1=0\Leftrightarrow 4(a^2+c^2+ac-2a-2c+1)=0\Leftrightarrow 3(a+c)^2-8(a+c)+(a-c)^2+4=0\Leftrightarrow 3(a+c-\frac{4}{3})^2+(a-c)^2-\frac{4}{3}=0\geq (a-c)^2-\frac{4}{3}$

Như vậy ta có: $(a-c)^2\leq \frac{4}{3}\Rightarrow a-c\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix} a+c=\frac{4}{3}\\ a-c=\frac{2\sqrt{3}}{3}\\ \end{matrix}\right. \Rightarrow a=\frac{2+\sqrt{3}}{3},b=\frac{2}{3}, c=\frac{2-\sqrt{3}}{3}$.

Do đó GTLN của $\max[a,b,c]-\min[a,b,c]$ là $\frac{2\sqrt{3}}{3}$, xảy ra khi $a=\frac{2+\sqrt{3}}{3},b=\frac{2}{3}, c=\frac{2-\sqrt{3}}{3}$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 26-06-2016 - 16:46