Chủ đề này có 3 trả lời

[the unknown]

Bài toán: (JBMO 2016) Tìm tất cả bộ ba số nguyên $(a,b,c)$ để số: $N=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2}+2$

là một lũy thừa của $2016$.

[Minhnguyenthe333]

Bài toán: (JBMO 2016) Tìm tất cả bộ ba số nguyên $(a,b,c)$ để số: $N=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2}+2$

là một lũy thừa của $2016$.

Đặt $N=2016^k$ $(k$ là số tự nhiên)

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c=>\left\{\begin{matrix}a-b\geqslant 0\\b-c\geqslant 0 \\ c-a\leqslant0\end{matrix}\right.$

Suy ra $(a-b)(b-c)(c-a)\leqslant 0<=>2016^k \leqslant 2=>k=0$

$<=>(a-b)(b-c)(c-a)=-2=1.1.(-2)=2.1.(-1)=>(a,b,c)=(1,0,-1)$ và các hoán vị

 

P/s: Lời giải mình thiếu TH $a\geqslant c\geqslant b$, khi đó $N\geqslant 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 26-06-2016 - 22:49

[minhrongcon2000]

Đặt $N=2016^k$ $(k$ là số tự nhiên)
Giả sử $a\geqslant b\geqslant c=>\left\{\begin{matrix}a-b\geqslant 0\\b-c\geqslant 0 \\ c-a\leqslant0\end{matrix}\right.$
Suy ra $(a-b)(b-c)(c-a)\leqslant 0<=>2016^k \leqslant 2=>k=0$
$<=>(a-b)(b-c)(c-a)=-2=1.1.(-2)=2.1.(-1)=>(a,b,c)=(1,0,-1)$ và các hoán vị

Hình như thiếu nghiệm bạn ơi!

[I Love MC]

Bài giải sai.

Đặt $N=2016^k$ $(k$ là số tự nhiên)

Giả sử $a\geqslant b\geqslant c=>\left\{\begin{matrix}a-b\geqslant 0\\b-c\geqslant 0 \\ c-a\leqslant0\end{matrix}\right.$

Suy ra $(a-b)(b-c)(c-a)\leqslant 0<=>2016^k \leqslant 2=>k=0$

$<=>(a-b)(b-c)(c-a)=-2=1.1.(-2)=2.1.(-1)=>(a,b,c)=(1,0,-1)$ và các hoán vị

 

P/s: Lời giải mình thiếu TH $a\geqslant c\geqslant b$, khi đó $N\geqslant 2$

Lời giải : Ta có $N=2016^n$  
Đặt $b-a=x,c-b=y$ ta viết lại : $xy(x+y)+4=2.2016^n$ 
Nếu $n>0$ vậy thì $xy(x+y)+4 \equiv 0 \pmod{7}$  
Suy ra $(x+y)^3-x^3-y^3 \equiv 2 \pmod{7}$  
Chú ý rằng khi chia một số $a^3$ cho $7$ thì ta thu được số dư là $1,0,-1$ 
Dễ có suy ra trong $(x+y)^3,x^3,y^3$ tồn tại một số chia hết cho $7$ 
Thì ta có $xy(x+y) \vdots 7$ mâu thuẫn vì $xy(x+y)+4 \equiv 0 \pmod{7}$ 
Suy ra $n=0$ đến đây suy ra $(x,y) \in (-1,-1),(2,-1),(-1,2)$ 
Suy ra $(a,b,c)=(k+1,k+2,k)$ và các hoán vị