Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Cho a,b,c là độ dài một tam giác không nhọn.

Tìm MIN của: $P=(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

[tpdtthltvp]

Cho a,b,c là độ dài một tam giác không nhọn.

Tìm MIN của: $P=(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

Vì $a,b,c$ là $3$ độ dài $3$ cạnh của một tam giác không nhọn nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $\widehat{A}\geq 90^{\circ}$. khi đó $a^2\geq b^2+c^2$.

Ta có:

$$P=3+\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2+c^2}{b^2}+\frac{a^2+b^2}{c^2}=3+(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2})+(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{b^2})\geq 3+(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{4a^2}{b^2+c^2})+2=5+(\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2})+\frac{3a^2}{b^2+c^2}\geq 5+2+3=10$$

Vậy $\min P=10.$ Dấu $"="$ xảy ra khi $a,b,c$ là độ dài một tam giác vuông.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 27-06-2016 - 12:06

[Baoriven]

Một cách giải khác: 

Giả sử a là độ dài cạnh lớn nhất . Khi đó góc A lớn nhất.

Tam giác không nhọn nên $cosA\leq 0\Rightarrow b^2+c^2\leq a^2$

Đặt: $b^2=xa^2,c^2=ya^2,x,y>0$ và ta có: $x+y\leq 1$

Khi đó: $P=(1+x+y)(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=(x+y+1)(\frac{xy+x+y}{xy})$

                $\geq (x+y+1).\frac{\frac{(x+y)^2}{4}+x+y}{\frac{(x+y)^2}{4}}=\frac{(x+y+1)(x+y+4)}{x+y}$

                $=\frac{(x+y+1)(x+y+4)}{x+y}-10+10=\frac{(x+y-1)(x+y-4)}{x+y}+10\geq 10$

Dấu bằng xảy ra khi tam giác đó vuông.