Giải phương trình nghiệm nguyên sau: $y^{2}=x^{3}+16.$
$y^{2}=x^{3}+16.$
#1
Đã gửi 27-06-2016 - 16:53
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Đã gửi 27-06-2016 - 17:41
Giải phương trình nghiệm nguyên sau: $y^{2}=x^{3}+16.$
Nếu $x$ lẻ và có dạng $4k+1,4k+3$ thì $LHS\equiv 17,19$ $(mod$ $4)$ nên ta loại $TH$ này
Do đó $x$ chẵn kéo theo $y$ chẵn$=>PT<=>2x_1^3+4=y_1^2$
Suy ra $y_1=2y_2=>PT$ $<=>x_1^3+2=2y_2^2$
Kéo theo $x_1=2x_2=>PT$ $<=>4x_2^3=y_2^2-1$
Suy ra $y_2=2y_3+1$ nên $PT<=>x_2^3=y_3(y_3+1)$
Nhận thấy $y_3(y_3+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp$=>y_3=0$ và $x_2=0$
Hay $(x,y)=(0,\pm 4)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 27-06-2016 - 17:44
- O0NgocDuy0O yêu thích
#3
Đã gửi 28-06-2016 - 08:39
Nhận thấy $y_3(y_3+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp$=>y_3=0$ và $x_2=0$
Đoạn này mình nghĩ là thêm TH $y_3=-1$. Nhưng có vẻ không ảnh hưởng gì đến bài giải
Nếu $x$ lẻ và có dạng $4k+1,4k+3$ thì $LHS\equiv 17,19$ $(mod$ $4)$ nên ta loại $TH$ này
Còn đoạn này thì $TH$ $x$ có dạng $4K+1$ suy được $y^{2}\equiv 1(mod4)$ thì đâu sai?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 28-06-2016 - 08:43
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#4
Đã gửi 20-07-2016 - 15:18
Mình bổ sung thêm TH $x=4k+1$Đoạn này mình nghĩ là thêm TH $y_3=-1$. Nhưng có vẻ không ảnh hưởng gì đến bài giải
Còn đoạn này thì $TH$ $x$ có dạng $4K+1$ suy được $y^{2}\equiv 1(mod4)$ thì đâu sai?
Khi đó $y$ lẻ và $PT<=>x^3=(y-4)(y+4)$
Đặt $d=GCD(y-4,y+4)$
Dễ thấy $d$ lẻ và $d\mid 8$ kéo theo $d=1$
Khi đó $y+4=m^3$ và $y-4=n^3$
$<=>m^3-n^3=8<=>(m-n)(m^2+mn+n^2)=1.8=2.4$
$=>(m,n)=(0,-2);(2,0)$ (loại vì $m,n$ lẻ)
- O0NgocDuy0O yêu thích
#5
Đã gửi 22-07-2016 - 14:28
Đây là thuộc phương trình Mordell (dạng $y^2=x^3+k$ )
Tài liệu tham khảo : 4400 Mordell equations
- O0NgocDuy0O và Element hero Neos thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh