Chủ đề này có 4 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Giải phương trình nghiệm nguyên sau: $y^{2}=x^{3}+16.$

[Minhnguyenthe333]

Giải phương trình nghiệm nguyên sau: $y^{2}=x^{3}+16.$

Nếu $x$ lẻ và có dạng $4k+1,4k+3$ thì $LHS\equiv 17,19$ $(mod$ $4)$ nên ta loại $TH$ này

 

Do đó $x$ chẵn kéo theo $y$ chẵn$=>PT<=>2x_1^3+4=y_1^2$

 

Suy ra $y_1=2y_2=>PT$ $<=>x_1^3+2=2y_2^2$

 

Kéo theo $x_1=2x_2=>PT$ $<=>4x_2^3=y_2^2-1$

 

Suy ra $y_2=2y_3+1$ nên $PT<=>x_2^3=y_3(y_3+1)$

 

Nhận thấy $y_3(y_3+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp$=>y_3=0$ và $x_2=0$

 

Hay $(x,y)=(0,\pm 4)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 27-06-2016 - 17:44

[O0NgocDuy0O]

Nhận thấy $y_3(y_3+1)$ là tích 2 số nguyên liên tiếp$=>y_3=0$ và $x_2=0$

Đoạn này mình nghĩ là thêm TH $y_3=-1$. Nhưng có vẻ không ảnh hưởng gì đến bài giải

 

Nếu $x$ lẻ và có dạng $4k+1,4k+3$ thì $LHS\equiv 17,19$ $(mod$ $4)$ nên ta loại $TH$ này

Còn đoạn này thì $TH$ $x$ có dạng $4K+1$ suy được $y^{2}\equiv 1(mod4)$ thì đâu sai? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 28-06-2016 - 08:43

[Minhnguyenthe333]

Đoạn này mình nghĩ là thêm TH $y_3=-1$. Nhưng có vẻ không ảnh hưởng gì đến bài giải
 



Còn đoạn này thì $TH$ $x$ có dạng $4K+1$ suy được $y^{2}\equiv 1(mod4)$ thì đâu sai?

Mình bổ sung thêm TH $x=4k+1$
Khi đó $y$ lẻ và $PT<=>x^3=(y-4)(y+4)$
Đặt $d=GCD(y-4,y+4)$
Dễ thấy $d$ lẻ và $d\mid 8$ kéo theo $d=1$
Khi đó $y+4=m^3$ và $y-4=n^3$
$<=>m^3-n^3=8<=>(m-n)(m^2+mn+n^2)=1.8=2.4$
$=>(m,n)=(0,-2);(2,0)$ (loại vì $m,n$ lẻ)

[I Love MC]

Đây là thuộc phương trình Mordell (dạng $y^2=x^3+k$ ) 
Tài liệu tham khảo : 4400 Mordell equations