Chủ đề này có 5 trả lời

[the unknown]

(AoPS) Giả sử rằng $p,q$ là các số nguyên tố sao cho $3\nmid p+q$ và $n,r$ là các số nguyên dương. Tìm tất cả các bộ bốn $(p,q,n,r)$ thỏa mãn $p+q=r(p-q)^n$.

[superpower]

(AoPS) Giả sử rằng $p,q$ là các số nguyên tố sao cho $3\nmid p+q$ và $n,r$ là các số nguyên dương. Tìm tất cả các bộ bốn $(p,q,n,r)$ thỏa mãn $p+q=r(p-q)^n$.

Dễ thôi

Dễ thấy $ p \geq q $

Giả sử $p,q \geq 3 $

Khi đó do $ 3 \nmid p+q => p \equiv q $ ( mod $3$)

Do đó $p-q \vdots 3 => p+q \vdots 3 $ vô lý

Do đó $p \vdots 3 $ hoặc $q \vdots 3$

TH1: $p= 3 => q=2 => r=5; n \in N $

TH2: $q=3$

TH2.1: $ p \geq 11 => p+3 = r(p-3)^n \geq r(p-3) => 1\leq r \leq \frac{p+3}{p-3} <2 $

Do đó $r=1 => p+3=(p-3)^n$

TH2.2: $ p \leq 7 $

Rồi xét $p$ là xong 

[kunsomeone]

Dễ thôi

Dễ thấy $ p \geq q $

Giả sử $p,q \geq 3 $

Khi đó do $ 3 \nmid p+q => p \equiv q $ ( mod $3$)

Do đó $p-q \vdots 3 => p+q \vdots 3 $ vô lý

Do đó $p \vdots 3 $ hoặc $q \vdots 3$

TH1: $p= 3 => q=2 => r=5; n \in N $

TH2: $q=3$

TH2.1: $ p \geq 11 => p+3 = r(p-3)^n \geq r(p-3) => 1\leq r \leq \frac{p+3}{p-3} <2 $

Do đó $r=1 => p+3=(p-3)^n$

TH2.2: $ p \leq 7 $

Rồi xét $p$ là xong 

Nếu $n$ chẵn thì ko nhất thiết $ p \geq q $.

[Minhnguyenthe333]

Dễ thôi

Dễ thấy $ p \geq q $

Giả sử $p,q \geq 3 $

Khi đó do $ 3 \nmid p+q => p \equiv q $ ( mod $3$)

Do đó $p-q \vdots 3 => p+q \vdots 3 $ vô lý

Do đó $p \vdots 3 $ hoặc $q \vdots 3$

TH1: $p= 3 => q=2 => r=5; n \in N $

TH2: $q=3$

TH2.1: $ p \geq 11 => p+3 = r(p-3)^n \geq r(p-3) => 1\leq r \leq \frac{p+3}{p-3} <2 $

Do đó $r=1 => p+3=(p-3)^n$

TH2.2: $ p \leq 7 $

Rồi xét $p$ là xong 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 28-06-2016 - 18:04

[O0NgocDuy0O]

$3\mid p-q$ thì chưa chắc gì $3\mid p+q$

Lấy ví dụ $13-7=6$ và $13+7=20$

Bạn hiểu sai ý rồi  

$p+q=r(p-q)^{n}$. $p\equiv q(mod 3)\Rightarrow 3|p+q$

[Minhnguyenthe333]

Bạn hiểu sai ý rồi  

$p+q=r(p-q)^{n}$. $p\equiv q(mod 3)\Rightarrow 3|p+q$

Ừa mình hiểu rồi