(AoPS) Giả sử rằng $p,q$ là các số nguyên tố sao cho $3\nmid p+q$ và $n,r$ là các số nguyên dương. Tìm tất cả các bộ bốn $(p,q,n,r)$ thỏa mãn $p+q=r(p-q)^n$.
$p+q=r(p-q)^n$
#1
Đã gửi 28-06-2016 - 10:51
- kunsomeone và moonkey01 thích
$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$
#2
Đã gửi 28-06-2016 - 14:18
(AoPS) Giả sử rằng $p,q$ là các số nguyên tố sao cho $3\nmid p+q$ và $n,r$ là các số nguyên dương. Tìm tất cả các bộ bốn $(p,q,n,r)$ thỏa mãn $p+q=r(p-q)^n$.
Dễ thôi
Dễ thấy $ p \geq q $
Giả sử $p,q \geq 3 $
Khi đó do $ 3 \nmid p+q => p \equiv q $ ( mod $3$)
Do đó $p-q \vdots 3 => p+q \vdots 3 $ vô lý
Do đó $p \vdots 3 $ hoặc $q \vdots 3$
TH1: $p= 3 => q=2 => r=5; n \in N $
TH2: $q=3$
TH2.1: $ p \geq 11 => p+3 = r(p-3)^n \geq r(p-3) => 1\leq r \leq \frac{p+3}{p-3} <2 $
Do đó $r=1 => p+3=(p-3)^n$
TH2.2: $ p \leq 7 $
Rồi xét $p$ là xong
- thinhrost1 và kunsomeone thích
#3
Đã gửi 28-06-2016 - 14:48
Dễ thôi
Dễ thấy $ p \geq q $
Giả sử $p,q \geq 3 $
Khi đó do $ 3 \nmid p+q => p \equiv q $ ( mod $3$)
Do đó $p-q \vdots 3 => p+q \vdots 3 $ vô lý
Do đó $p \vdots 3 $ hoặc $q \vdots 3$
TH1: $p= 3 => q=2 => r=5; n \in N $
TH2: $q=3$
TH2.1: $ p \geq 11 => p+3 = r(p-3)^n \geq r(p-3) => 1\leq r \leq \frac{p+3}{p-3} <2 $
Do đó $r=1 => p+3=(p-3)^n$
TH2.2: $ p \leq 7 $
Rồi xét $p$ là xong
Nếu $n$ chẵn thì ko nhất thiết $ p \geq q $.
#4
Đã gửi 28-06-2016 - 17:52
Dễ thôi
Dễ thấy $ p \geq q $
Giả sử $p,q \geq 3 $
Khi đó do $ 3 \nmid p+q => p \equiv q $ ( mod $3$)
Do đó $p-q \vdots 3 => p+q \vdots 3 $ vô lý
Do đó $p \vdots 3 $ hoặc $q \vdots 3$
TH1: $p= 3 => q=2 => r=5; n \in N $
TH2: $q=3$
TH2.1: $ p \geq 11 => p+3 = r(p-3)^n \geq r(p-3) => 1\leq r \leq \frac{p+3}{p-3} <2 $
Do đó $r=1 => p+3=(p-3)^n$
TH2.2: $ p \leq 7 $
Rồi xét $p$ là xong
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 28-06-2016 - 18:04
#5
Đã gửi 28-06-2016 - 18:05
$3\mid p-q$ thì chưa chắc gì $3\mid p+q$
Lấy ví dụ $13-7=6$ và $13+7=20$
Bạn hiểu sai ý rồi
$p+q=r(p-q)^{n}$. $p\equiv q(mod 3)\Rightarrow 3|p+q$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#6
Đã gửi 28-06-2016 - 18:06
Bạn hiểu sai ý rồi
$p+q=r(p-q)^{n}$. $p\equiv q(mod 3)\Rightarrow 3|p+q$
Ừa mình hiểu rồi
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh