Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=4$.

Tìm GTNN của: $K=(a^4+b^4+c^4)(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})$

[cristianoronaldo]

Ta có:

$(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})-[c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+\frac{1}{c}(a+b)]+1$

$\leq (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})-2\sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}+1=(\sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}-1)^2$

$\Rightarrow 2\leq \sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2}-1\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 7$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$(a^4+b^4+c^4)(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})\geq [\sqrt{(a^4+b^4)(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4})}+1]^2=(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+1)^2=[(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2-1]^2\geq 2304$

Dấu ''='' xảy ra khi $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 28-06-2016 - 22:47

[thinhnarutop]

Dấu = xảy ra khi $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=7$ với $ab=c^{2}$ mà bạn