$x^{2}+2=\sqrt{x(x^{2}-2x+2)}+\sqrt{x^{4}+4}$
$x^{2}+2=\sqrt{x(x^{2}-2x+2)}+\sqrt{x^{4}+4}$
#1
Đã gửi 29-06-2016 - 00:07
#2
Đã gửi 29-06-2016 - 07:57
$x^{2}+2=\sqrt{x(x^{2}-2x+2)}+\sqrt{x^{4}+4}$
$Đk:x\ge 0$.
Xét $x=0$ là 1 nghiệm của phương trình.
Xét $x>0$.
Xét $f(x)=\sqrt{x^4+4}+\sqrt{x(x^2-2x+4)}-x^2+2\forall x\in (0;+\infty)$
Ta có: $f'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+4}}+\frac{3x^2-4x+4}{2\sqrt{x(x^2-2x+2)}}-2x$.
Mặt khác: $\sqrt{x^4+4}=\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}\le^{CauChy} \frac{1}{2}(2x^2+4)=(x^2+2)$.
Và: $2\sqrt{x(x^2-2x+2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}*2*\sqrt{2x(x^2-2x+2)}\le^{Cauchy}\frac{1}{\sqrt{2}}(x^2+2)$.
Nên $f'(x)\ge \frac{2x^3}{x^2+2}+\frac{3\sqrt{2}x^2-4\sqrt{2}x+4\sqrt{2}}{x^2+2}-2x=\frac{3\sqrt{2}x^2-(4\sqrt{2}+4)x+4\sqrt{2}}{x^2+2}>0$.
Vậy $f'(x)$ luôn đồng biến $\forall x\in (0;+\infty)\implies f(x)>f(0)=0\implies$ phương trình vô nghiệm với mọi $x>0$.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : $x=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-07-2016 - 07:48
- thuylinhnguyenthptthanhha, TanSan26 và wolverine99 thích
#3
Đã gửi 29-06-2016 - 19:42
$Đk:x\ge 0$.
Xét $x=0$ là 1 nghiệm của phương trình.
Xét $x>0$.
Xét $f(x)=\sqrt{x^4+4}+\sqrt{x(x^2-2x+4)}-x^2+2\forall x\in (0;+\infty)$
Ta có:$f'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+4}}+\frac{3x^2-2x+2}{2\sqrt{x(x^2-2x+2)}}-2x$
Mặt khác: $\sqrt{x^4+4}=\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}\le^{CauChy} \frac{1}{2}(2x^2+4)=(x^2+2)$.
Và: $2\sqrt{x(x^2-2x+2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}*2*\sqrt{2x(x^2-2x+2)}\le^{Cauchy}\frac{1}{\sqrt{2}}(x^2+2)$.
Nên $f'(x)\ge \frac{2x^3}{x^2+2}+\frac{3\sqrt{2}x^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}}{x^2+2}-2x=\frac{3\sqrt{2}x^2-(2\sqrt{2}+4)x+2\sqrt{2}}{x^2+2}>0$.
Vậy $f'(x)$ luôn đồng biến $\forall x\in (0;+\infty)\implies f(x)>f(0)=0\implies$ phương trình vô nghiệm với mọi $x>0$.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : $x=0$
hình như bạn tính nhầm đạo hàm
$f'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+4}}+\frac{3x^2-4x+2}{2\sqrt{x(x^2-2x+2)}}-2x$
#4
Đã gửi 29-06-2016 - 20:34
#5
Đã gửi 05-07-2016 - 22:53
Ờ, nhầm, bạn sửa lại rồi tính lại dùm nha, ý tưởng là vậy đó
nếu đạo hàm tính đúng, chắc ý tưởng đó không được rồi.
không chứng minh dc đạo hàm luôn dương
#6
Đã gửi 06-07-2016 - 07:50
hình như bạn tính nhầm đạo hàm
$f'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+4}}+\frac{3x^2-4x+2}{2\sqrt{x(x^2-2x+2)}}-2x$
Đạo hàm ở đây là: $f'(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{x^4+4}}+\frac{3x^2-4x+4}{2\sqrt{x(x^2-2x+2)}}-2x$ nhé.
Mà nói chung mình đã sửa lời giải đầu tiên lại rồi. Bạn có thể tham khảo.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh