Đến nội dung

Hình ảnh

Số nguyên tố

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
lovemathforeverlqd

lovemathforeverlqd

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p và a nguyên dương, số $a^{p}-1$ luôn có ít nhất một ước nguyên tố q thỏa mãn:

$$q\equiv 1 modp$$

 



#2
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Ta sẽ quan tâm đến $a \ge 2$:
Gọi $q$ là một ước nguyên tố của $\frac{a^{p} - 1}{a - 1}$. Ta sẽ chứng minh $q = p$ hoặc $q \equiv 1\pmod{p}$

Theo đề bài ta có $a^{p} \equiv 1\pmod{q}$, suy ra $\text{ord}_{q}(a)\mid p$.

i) $\text{ord}_{q}(a) = 1$. Để ý là $q\mid 1 + a + \cdots + a^{p - 1}$, lấy modulo $q$, ta thu được $p\equiv 0\pmod{q}$ hay $p = q$ do $q$ nguyên tố.

ii) $\text{ord}_{q}(a) = p$. Mặt khác, $\text{ord}_{q}(a)\mid q - 1$. Ta có đpcm.

Bây giờ quay lại bài toán, để ý là theo LTE ta có $v_{p}\left(\frac{a^{p} - 1}{a - 1}\right) = v_{p}(a^{p} - 1) - v_{p}(a - 1) = v_{p}(p) = 1$. Tức là nếu $\frac{a^{p} - 1}{a - 1} = p^{k}$ thì $k = 1$, suy ra $a = 1$, vô lý.
Điều này tức là có một ước nguyên tố nào khác thỏa $q \neq p$ và như ii) ta có đpcm.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh