Chủ đề này có 1 trả lời

[PlanBbyFESN]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng :

 

$\frac{a+b}{bc+a^{2}}+\frac{b+c}{ca+b^{2}}+\frac{c+a}{ab+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

[Thislife]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng :

 

$\frac{a+b}{bc+a^{2}}+\frac{b+c}{ca+b^{2}}+\frac{c+a}{ab+c^{2}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$\frac{bc-ab}{abc+a^3} +\frac{ac-bc}{abc+b^3}+\frac{ab-ac}{abc+c^3} \geq 0$

Ta đi tách :$\frac{ac-bc}{abc+b^3} = \frac{ac-ab+ab-bc}{abc+b^3}$

Lúc này chỉ cần chứng minh :$(ab-bc)(\frac{1}{abc+b^3}-\frac{1}{abc+a^3}) +(ab-ac)(\frac{1}{abc+c^3}-\frac{1}{abc+b^3}) \geq 0$ 

Mà nó tương đương với : $\frac{b(a-c)(a-b)(a^2+b^2+ab)}{(abc+b^3)(abc+c^3)}+\frac{a(b-c)^2(b^2+c^2+bc)}{(abc+c^3)(abc+b^3)}\geq 0$

Hiển nhiên đúng sau khi giả sử $a=max(a,b,c)$ hoặc $a=min(a,b,c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 29-06-2016 - 21:12