Chủ đề này có 1 trả lời

[Baoriven]

Cho x,y,z thực thỏa mãn: $x+y+z=1$. Tìm GTLN của

$P=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}$

[leminhnghiatt]

Cho x,y,z thực thỏa mãn: $x+y+z=1$. Tìm GTLN của

$P=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}$

 

$P=\sum \dfrac{x}{x^2+1}=\sum \dfrac{x}{(x^2+\dfrac{1}{9})+\dfrac{8}{9}} \leq \sum \dfrac{x}{\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{9}}=\sum \dfrac{9x}{6x+8}$

 

Đặt $B=\sum \dfrac{9x}{6x+8}$

 

$\rightarrow \dfrac{2}{3}B=\sum \dfrac{6x}{6x+8}$

 

$\rightarrow 3-\dfrac{2}{3}B=\sum \dfrac{4}{3x+4} \geq \dfrac{4.9}{3(x+y+z)+4}=\dfrac{12}{5}$

 

$\rightarrow B \leq \dfrac{9}{10}$

 

Vậy $P \leq \dfrac{9}{10} \iff x=y=z=\dfrac{1}{3}$