2 replies to this topic

[misakichan]

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. E $\epsilon$ BC. E $\neq$ B, C. Gọi H, F lần lượt là hình chiếu của E xuống AB, AC. Gọi K là giao điểm CH, BF. CM: Đường thẳng EK luôn đi qua 1 điểm cố định khi E di chuyển trên BC.

Edited by misakichan, 29-06-2016 - 20:42.

[doremon01]

Vẽ hình vuông ACBD

Ta sẽ chứng minh $DE \perp HF$

EH cắt DC tại M, FE cắt BD tại N,DE cắt HF tại I

Ta có: DM=BH;DN=EF

$\Delta DME$ và $\Delta EHF$ có: 

$ \angle DME=\angle HEF=90^o$

$EH=DM(=BH); EM=EF$ 

$\Rightarrow \Delta DME=\Delta HEF (c-g-c) \Rightarrow \angle DEM=\angle EFH \Leftrightarrow \angle HEI=\angle HFE \Leftrightarrow \Delta HEI \sim \Delta HFE (g-g)\Rightarrow DE \perp HF$ $\Rightarrow $ DE là đường cao của $\Delta DHF$ (1)

Mặt khác: $\Delta DBH$ và $\Delta BAF$ có: $DB=BA;\angle DBH=\angle BAF=90^o;BH=AF$ nên $\Delta DBH=\Delta BAF(c-g-c) \Rightarrow \angle ABF=\angle BDH\Rightarrow \angle ABF+\angle BHD=\angle BDH+\angle BHD=90^o\rightarrow BF\perp HD\Rightarrow$FB là đường cao của $\Delta DHF$ (2)

Chứng minh tương tự ta được : HC là đường cao $\Delta DHF$(3)

Từ (1); (2);(3) ta có: DE;BF;HC đồng quy tại trực tâm $\Delta HFD$ 

Mà $K=BF\cap CH$ nên DE đi qua I

Vậy EK luôn đi qua D là điểm cố định

 

Bài toán vẫn đúng nếu $\Delta ABC$ vuông tại A

Attached Images

• 

Edited by doremon01, 01-07-2016 - 23:12.

[doremon01]

Mở rộng bài toán trên: Cho tam giác ABC vuông tại A. E ϵ BC. E ≠ B, C. Gọi H, F lần lượt là hình chiếu của E xuống AB, AC. Gọi K là giao điểm CH, BF. CM: Đường thẳng EK luôn đi qua 1 điểm cố định khi E di chuyển trên BC.

Vẽ hình chữ nhật ABDC

FE cắt BD tại I; BC cắt DF tại M

$\Delta BHE \sim \Delta EFC (g-g) \Rightarrow \frac{EF}{HB}=\frac{FC}{HE}\Leftrightarrow EF.HE=HB.FC$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta BAF$ với cát tuyến CKH ta có: 

$\frac{KB}{KF}.\frac{CF}{CA}.\frac{HA}{HB}=1\Leftrightarrow \frac{FK}{KB}=\frac{CF.HA}{CA.HB}$

$\Delta FBD$ có: 

$\frac{DM}{MF}.\frac{KF}{KB}.\frac{IB}{ID}=\frac{BD}{FC}.\frac{CF.HA}{CA.HB}.\frac{IB}{ID}=\frac{EF}{HB}.\frac{HE}{FC}=1$

Theo định lí Ceva thì DK, BM,FI đồng quy tại E
Vậy D,E,K thẳng hàng hay EK luôn đi qua điểm D cố định

 

Attached Images

•