Vẽ hình vuông ACBD
Ta sẽ chứng minh $DE \perp HF$
EH cắt DC tại M, FE cắt BD tại N,DE cắt HF tại I
Ta có: DM=BH;DN=EF
$\Delta DME$ và $\Delta EHF$ có:
$ \angle DME=\angle HEF=90^o$
$EH=DM(=BH); EM=EF$
$\Rightarrow \Delta DME=\Delta HEF (c-g-c) \Rightarrow \angle DEM=\angle EFH \Leftrightarrow \angle HEI=\angle HFE \Leftrightarrow \Delta HEI \sim \Delta HFE (g-g)\Rightarrow DE \perp HF$ $\Rightarrow $ DE là đường cao của $\Delta DHF$ (1)
Mặt khác: $\Delta DBH$ và $\Delta BAF$ có: $DB=BA;\angle DBH=\angle BAF=90^o;BH=AF$ nên $\Delta DBH=\Delta BAF(c-g-c) \Rightarrow \angle ABF=\angle BDH\Rightarrow \angle ABF+\angle BHD=\angle BDH+\angle BHD=90^o\rightarrow BF\perp HD\Rightarrow$FB là đường cao của $\Delta DHF$ (2)
Chứng minh tương tự ta được : HC là đường cao $\Delta DHF$(3)
Từ (1); (2);(3) ta có: DE;BF;HC đồng quy tại trực tâm $\Delta HFD$
Mà $K=BF\cap CH$ nên DE đi qua I
Vậy EK luôn đi qua D là điểm cố định
Bài toán vẫn đúng nếu $\Delta ABC$ vuông tại A
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doremon01: 01-07-2016 - 23:12