Chủ đề này có 3 trả lời

[happyfree]

1.Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng:

$(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2 \geq \frac{3}{4}$

[hoakute]

http://diendantoanho...h-bất-đẳng-thức

[Baoriven]

Viết lại dưới dạng:

$P=\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^2}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^2}=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}$

với: $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c};xyz=1$

Sử dụng: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$

Suy ra: $P\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.

-----------------------------------------------------

Một bài tương tự: Với a,b,c dương, Tìm GTNN của: 

$K=(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{b}{b+c})^3+(\frac{c}{c+a})^3$

[happyfree]

http://diendantoanho...h-bất-đẳng-thức

 

Viết lại dưới dạng:

$P=\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^2}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^2}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^2}=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}$

với: $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c};xyz=1$

Sử dụng: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$

Suy ra: $P\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.

-----------------------------------------------------

Một bài tương tự: Với a,b,c dương, Tìm GTNN của: 

$K=(\frac{a}{a+b})^3+(\frac{b}{b+c})^3+(\frac{c}{c+a})^3$

Cách khác:

$(\frac{a}{a+b})^2+(\frac{b}{b+c})^2+(\frac{c}{c+a})^2=\frac{a^2(c+a)^2}{(a+b)^2(c+a)^2}+\frac{b^2(a+b)^2}{(b+c)^2(a+b)^2}+\frac{c^2(b+c)^2}{(c+a)^2(b+c)^2} \geq \frac{[a(c+a)+b(a+b)+c(b+c)]^2}{(a+b)^2(c+a)^2+(b+c)^2(a+b)^2+(c+a)^2(b+c)^2} =  \frac{[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]^2}{4[(a+b)^2(c+a)^2+(b+c)^2(a+b)^2+(c+a)^2(b+c)^2]}$

Ta cần chứng minh : 

$(a+b)^2(c+a)^2+(b+c)^2(a+b)^2+(c+a)^2(b+c)^2 \leq \frac{[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]^2}{3}$

Đây là BĐT quen thuộc có dạng $xy+yz+zx \leq \frac{(x+y+z)^2}{3}$