Chủ đề này có 8 trả lời

[goopd]

chứng minh với $a,b,c$ là các số thực bất kì thì: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 01-07-2016 - 22:00

[Baoriven]

Ta có: $(a+b-c)(b+c-a)\leq \frac{(a+b-c+b+c-a)^2}{4}=b^2$

Tương tự ta có đpcm

[O0NgocDuy0O]

$(b-c)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}-(b-c)^{2}\leq a^{2}\Leftrightarrow (a-b+c)(a+b-c)\leq a^{2}.$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi nhân theo vế: 

$[(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]^{2}\leq (abc)^{2}\Rightarrow (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq \left |(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\right |\leq abc.$

[Nguyenhuyen_AG]

$(b-c)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}-(b-c)^{2}\leq a^{2}\Leftrightarrow (a-b+c)(a+b-c)\leq a^{2}.$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi nhân theo vế: 

$[(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]^{2}\leq (abc)^{2}\Rightarrow (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq \left |(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\right |\leq abc.$

 

 

Ta có: $(a+b-c)(b+c-a)\leq \frac{(a+b-c+b+c-a)^2}{4}=b^2$

Tương tự ta có đpcm

 

Cả hai bạn đều giải chưa đúng.

[O0NgocDuy0O]

Cả hai bạn đều giải chưa đúng.

Dạ đúng là hấp tấp quá nên em không để ý ĐK. Anh Huyện có thể trình bày lời giải để bọn em xem không ạ???

[Nguyenhuyen_AG]

Dạ đúng là hấp tấp quá nên em không để ý ĐK. Anh Huyện có thể trình bày lời giải để bọn em xem không ạ???

 

Bất đẳng thức này sai nếu điều kiện $a,b,c$ là các số thực.

[O0NgocDuy0O]

Bất đẳng thức này sai nếu điều kiện $a,b,c$ là các số thực.

Mà anh cho em ví dụ đc ko ạ?

Em thấy ở đây anh Toàn cũng nói đúng: 

http://diendantoanho...c-aca-bleq-abc/

[Nguyenhuyen_AG]

Mà anh cho em ví dụ đc ko ạ?

Em thấy ở đây anh Toàn cũng nói đúng: 

http://diendantoanho...c-aca-bleq-abc/

 

Bài mà Toàn giải giả thiết $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác, còn bài chúng ta đang thảo luận giả thiết $a,b,c$ là các số thực và nó sai với $a = 1, b = \frac{1}{2}, c = -1.$ Thật ra thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực $a,b,c$ không âm. Cách giải khá đơn giản nhưng có một lỗi mà các bạn thường gặp phải đó là từ $a \leqslant b$ và $c \leqslant d$ để suy ra được $ac \leqslant bd$ (nhân vế theo vế của hai bất đẳng thức) thì $a \geqslant 0, c \geqslant 0.$

 

Giả sử $a = \max\{a,b,c\}$ khi đó $a+b-c \geqslant $ và $c+a-b \geqslant 0$ cho nên nếu $b+c-a \leqslant 0$ thì vế phải $\leqslant 0 \leqslant $ vế trái. Còn nếu $b+c-a \geqslant 0$ thì khi đó áp dụng lời giải của em hoặc của bạn Baoriven ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 01-07-2016 - 12:41

[cristianoronaldo]

cm với a,b,c là các số thực bất kì thì: (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)≤abc.

≤

Ta có:

$(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)\leq abc$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Đây là bất đẳng thức Schur