Chủ đề này có 3 trả lời

[tranwhy]

Cho tam giác ABC có I là trung điểm AB. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua I cắt CA, CB tại A', B'

Chứng minh giao điểm M của AB' và A'B nằm trên đường cố định

[doremon01]

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta AIB'$ với cát tuyến MA'B ta có: 

$\frac{B'M}{MA}.\frac{AB}{BI}.\frac{A'I}{A'B'}=1\Leftrightarrow \frac{B'M}{MA}.2.\frac{A'I}{A'B'}=1$ (1) 

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta B'IB$ với cát tuyến CA'C ta có:

$\frac{B'C}{CB}.\frac{AB}{AI}.\frac{A'I}{A'B'}=1\Leftrightarrow \frac{B'C}{CB}.2.\frac{A'I}{A'B'}=1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $ \frac{B'M}{MA}=\frac{B'C}{CB} \Leftrightarrow MC//AB$

Vậy M luôn nằm trên đường thẳng qua C và song song với AB

Hình gửi kèm

• 

[tranwhy]

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta AIB'$ với cát tuyến MA'B ta có: 

$\frac{B'M}{MA}.\frac{AB}{BI}.\frac{A'I}{A'B'}=1\Leftrightarrow \frac{B'M}{MA}.2.\frac{A'I}{A'B'}=1$ (1) 

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta B'IB$ với cát tuyến CA'C ta có:

$\frac{B'C}{CB}.\frac{AB}{AI}.\frac{A'I}{A'B'}=1\Leftrightarrow \frac{B'C}{CB}.2.\frac{A'I}{A'B'}=1$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $ \frac{B'M}{MA}=\frac{B'C}{CB} \Leftrightarrow MC//AB$

Vậy M luôn nằm trên đường thẳng qua C và song song với AB

mình ko biết định lí Menelaus bạn ơi, có cách nào sơ cấp hơn k 

[doremon01]

Bạn có thể tham khảo cách chứng minh định lí Menelaus [khá đơn giản]:

Xét $\Delta ABC$ có một đường thẳng cắt 3 cạnh AB,AC,BC ( hoặc đường thẳng chứa cạnh) lần lượt tại D,E,F . Qua A vẽ đường thẳng song song BC cắt DE tại I

$\frac{AD}{DB}.\frac{FB}{FC}.\frac{EC}{EA}=\frac{AI}{FB}.\frac{FB}{FC}.\frac{CF}{AI}=1$

 

Hình gửi kèm

•