Chủ đề này có 13 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Về phía ngoài tam giác $ABC$, ta dựng các tam giác đồng dạng $XBC, YCA, ZAB.$ Chứng minh rằng các tam giác $ABC,XYZ$ có cùng trọng tâm.

[halloffame]

Đây là ví dụ 13, trang 18 Tài liệu chuyên Toán Hình học 10 nhé.

[vkhoa]

Về phía ngoài tam giác $ABC$, ta dựng các tam giác đồng dạng $XBC, YCA, ZAB.$ Chứng minh rằng các tam giác $ABC,XYZ$ có cùng trọng tâm.

Thực hiện phép quay tâm bất kỳ góc quay $\widehat{CBX}$
$\overrightarrow{BC}$ thành $\overrightarrow{B'C'}$, $\overrightarrow{CA}$ thành $\overrightarrow{C'A'}$, $\overrightarrow{AB}$ thành $\overrightarrow{A'B'}$
có $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow\overrightarrow{A'B'} +\overrightarrow{B'C'} +\overrightarrow{C'A'} =\overrightarrow{0}$ (1)
ta có $\overrightarrow{A'B'}$ cộng tuyến $\overrightarrow{AZ}$, $\overrightarrow{B'C'}$ cộng tuyến $\overrightarrow{BX}$, $\overrightarrow{C'A'}$ cộng tuyến $\overrightarrow{CY}$ (2)
mặt khác $\frac{AB}{AZ} =\frac{BC}{BX} =\frac{CA}{CY} =k$
$\Leftrightarrow\frac{A'B'}{AZ} =\frac{B'C'}{BX} =\frac{C'A'}{CY} =k$ (3)
từ (2, 3)$\Rightarrow \overrightarrow{A'B'} =k .\overrightarrow{AZ}, \overrightarrow{B'C'} =k .\overrightarrow{BX} , \overrightarrow{C'A'} =k .\overrightarrow{CY}$ (4)
từ (1, 4)$\Rightarrow\overrightarrow{AZ} +\overrightarrow{BX} +\overrightarrow{CY} =\overrightarrow{0}$ (5)
gọi G là trọng tâm ABC
(5)$\Leftrightarrow\overrightarrow{AG} +\overrightarrow{GZ} +\overrightarrow{BG} +\overrightarrow{GX} +\overrightarrow{CG} +\overrightarrow{GY} =\overrightarrow{0} $
$\Rightarrow\overrightarrow{GZ} +\overrightarrow{GX} +\overrightarrow{GY} =\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow G$ là trọng tâm XYZ (đpcm)

[O0NgocDuy0O]

Đây là ví dụ 13, trang 18 Tài liệu chuyên Toán Hình học 10 nhé.

Bạn giải thích đoạn: $\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=n$ suy ra: $\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ}=n(BC.\overrightarrow{e_{a}}+CA.\overrightarrow{e_{b}}+AB.\overrightarrow{e_{c}})$

giúp mình được không?

[Baoriven]

$\overrightarrow{e}$ là vecto đơn vị.

$\overrightarrow{BC}=BC.\overrightarrow{e_{a}}$ Tới đây giải tiếp là ra.

[goopd]

$\overrightarrow{e}$ là vecto đơn vị.

$\overrightarrow{BC}=BC.\overrightarrow{e_{a}}$ Tới đây giải tiếp là ra.

Tại sao lại có cái này???????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi goopd: 02-07-2016 - 09:01

[Baoriven]

Đây là kiến thức cơ bản của Vecto, vì độ dài của vecto đơn vị là 1

[ngoalong131209]

mấy anh ơi học chuyên toán ngoài sách chuyên ra thì tham khảo sách nào nữa ko

[O0NgocDuy0O]

Đây là kiến thức cơ bản của Vecto, vì độ dài của vecto đơn vị là 1

Nhưng có một điều em thắc mắc: $\overrightarrow{BC}=BC.\overrightarrow{e_{a}}\Rightarrow\overrightarrow{BC}$ cùng hướng $\overrightarrow{e_{a}}$. Nhưng thực tế trong hình là không cùng???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 02-07-2016 - 09:28

[Baoriven]

Vecto này nằm trên BC thì dĩ nhiên cùng phương với vecto BC rồi em.

[O0NgocDuy0O]

Vecto này nằm trên BC thì dĩ nhiên cùng phương với vecto BC rồi em.

Theo lời giải trong sách thì không cùng phương ạ??

Lời giải nguyên văn của sách là thế này ạ:

Gọi $H,K,L$ theo thứ tự là hình chiếu của $X,Y,Z$ trên $BC,CA,AB$.

Gọi $\overrightarrow{e_{a}},\overrightarrow{e_{b}},\overrightarrow{e_{c}},$ là các vecto đơn vị, hướng ra ngoài tam giác $ABC$ và theo thứ tự vuông góc $BC,CA,AB$.

Các tam giác $XBC,YCA,ZAB$ đồng dạng nên: 

$\frac{BH}{BC}=\frac{CK}{CA}=\frac{AL}{AB}=m;$

$\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=n.$

Suy ra: 

$\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{AZ}=(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{AL})+(\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ}).$

$=m(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+n(BC\overrightarrow{e_{a}}+CA\overrightarrow{e_{b}}+AB\overrightarrow{e_{c}})$

$=n(BC\overrightarrow{e_{a}}+CA\overrightarrow{e_{b}}+AB\overrightarrow{e_{c}})=\overrightarrow{0}$(Con nhím).

Vậy có ĐPCM.

-------------------------------------------------     

em thấy theo lời giải vecto $BC$ không cùng hướng với vecto $e_{a}$ nên không biết đoạn màu đỏ ở đâu ra??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 02-07-2016 - 10:46

[halloffame]

Theo lời giải trong sách thì không cùng phương ạ??

Lời giải nguyên văn của sách là thế này ạ:

Gọi $H,K,L$ theo thứ tự là hình chiếu của $X,Y,Z$ trên $BC,CA,AB$.

Gọi $\overrightarrow{e_{a}},\overrightarrow{e_{b}},\overrightarrow{e_{c}},$ là các vecto đơn vị, hướng ra ngoài tam giác $ABC$ và theo thứ tự vuông góc $BC,CA,AB$.

Các tam giác $XBC,YCA,ZAB$ đồng dạng nên: 

$\frac{BH}{BC}=\frac{CK}{CA}=\frac{AL}{AB}=m;$

$\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=n.$

Suy ra: 

$\overrightarrow{BX}+\overrightarrow{CY}+\overrightarrow{AZ}=(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{AL})+(\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ}).$

$=m(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})+n(BC\overrightarrow{e_{a}}+CA\overrightarrow{e_{b}}+AB\overrightarrow{e_{c}})$

$=n(BC\overrightarrow{e_{a}}+CA\overrightarrow{e_{b}}+AB\overrightarrow{e_{c}})=\overrightarrow{0}$(Con nhím).

Vậy có ĐPCM.

-------------------------------------------------     

em thấy theo lời giải vecto $BC$ không cùng hướng với vecto $e_{a}$ nên không biết đoạn màu đỏ ở đâu ra??

Đoạn màu đỏ là do vectơ $e_a$ cùng phương với $HX$ và tương tự, đồng thời do (2) thôi em. Chú ý các vectơ đơn vị có độ dài đại số bằng nhau.

[O0NgocDuy0O]

Đoạn màu đỏ là do vectơ $e_a$ cùng phương với $HX$ và tương tự, đồng thời do (2) thôi em. Chú ý các vectơ đơn vị có độ dài đại số bằng nhau.

Chỗ $=m$ là em hiểu rồi ạ nhưng do $(2)$ thì chưa hợp lí.

Theo em là từ $\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=n$ không suy được 

 $(\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ})=n(BC\overrightarrow{e_{a}}+CA\overrightarrow{e_{b}}+AB\overrightarrow{e_{c}}).$

Chẳng hạn nếu: $\overrightarrow{HX}=n.\overrightarrow{BC}$ thì không đúng vì vecto HX và BC không cùng phương.

Bởi Theo định nghĩa thì Với $k>0$ thì $k.\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$.

[halloffame]

Chỗ $=m$ là em hiểu rồi ạ nhưng do $(2)$ thì chưa hợp lí.

Theo em là từ $\frac{XH}{BC}=\frac{YK}{CA}=\frac{ZL}{AB}=n$ không suy được 

 $(\overrightarrow{HX}+\overrightarrow{KY}+\overrightarrow{LZ})=n(BC\overrightarrow{e_{a}}+CA\overrightarrow{e_{b}}+AB\overrightarrow{e_{c}}).$

Chẳng hạn nếu: $\overrightarrow{HX}=n.\overrightarrow{BC}$ thì không đúng vì vecto HX và BC không cùng phương.

Bởi Theo định nghĩa thì Với $k>0$ thì $k.\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$.

Do $\frac{HX}{BC} =n \Rightarrow \overrightarrow{HX} = \overrightarrow{e_a} .HX =\overrightarrow{e_a} .nBC.$