Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $abc=1$.Tìm MIN của: 

$A=\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}$

[leminhnghiatt]

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $abc=1$.Tìm MIN của: 

$A=\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}$

 

Ta có: $ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3 \rightarrow 3 \leq ab+bc+ca$

 

Ta có: $A=\sum \dfrac{a}{\sqrt{b^2+3}} \geq \sum \dfrac{a}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}=\sum \dfrac{a}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}$

 

$=\sum \dfrac{a^2}{\sqrt{(ab+ac)(ab+a^2)}} \geq \sum \dfrac{2a^2}{a^2+2ab+ac} \geq \dfrac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+(ac+ab+bc)}$

 

$\geq \dfrac{2(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}} \geq \dfrac{2}{1+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}$

 

Vậy $MIN_{P}=\dfrac{3}{2} \iff a=b=c=1$

[Baoriven]

Một cách giải khác, dài hơn.

Đặt: $a=\sqrt{\frac{y}{x}};b=\sqrt{\frac{z}{y}};c=\sqrt{\frac{x}{z}}$

BĐT viết lại dưới dạng: 

$A=\sum \frac{x}{\sqrt{z(3x+y)}}=\sum \frac{x^2}{x\sqrt{z(3x+y)}}$

$A\geq \frac{(x+y+z)^2}{x\sqrt{z(3x+y)}+y\sqrt{x(3y+z)}+z\sqrt{y(3z+x)}}$

Đặt $Q=x\sqrt{z(3x+y)}+y\sqrt{x(3y+z)}+z\sqrt{y(3z+x)}$

Sử dụng BĐT C-S ta có:

$Q=\sum \sqrt{x}\sqrt{xz(3x+y)}\leq \sqrt{3(x+y+z)(x^2z+y^2x+z^2y+xyz)}$

Ta lại có BĐT quen thuộc này: $x^2z+y^2x+z^2y+xyz\leq \frac{4}{27}(x+y+z)^3$

Do đó có đc đpcm. vì: $Q\leq \frac{2}{3}(x+y+z)^2$