Chủ đề này có 1 trả lời

[thinhnarutop]

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:

$\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}\geq 1+\sqrt[3]{5+\sqrt{(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhnarutop: 30-06-2016 - 18:47

[Baoriven]

Ta có: $\sqrt{(a+b+c)^3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^3}$

$=\sqrt{[a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)][\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)}{a^2b^2c^2}]}$

$\geq \sqrt{(\sum a^3).(\sum \frac{1}{a^3})}+\frac{3(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$

Ta có: $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}-1=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-1$

Do đó: $3(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3\geq 3(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3\sqrt{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}+6$

Vì : $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

Từ đó có đpcm.