Đến nội dung

Hình ảnh

Trên bàn cờ 8x8, ta đặt các quân xe màu xanh, đỏ,vàng sao cho các quân xe khác màu không ăn nhau. Hỏi có thể đặt tối đa được bao nhiêu quân xe như vậy


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
NguyenTaiTue

NguyenTaiTue

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết

Trên bàn cờ 8x8, ta đặt các quân xe màu xanh, đỏ,vàng sao cho các quân xe khác màu không ăn nhau. Hỏi có thể đặt tối đa được bao nhiêu quân xe như vậy nếu biết rằng số quân xe mỗi màu giống nhau?



#2
JUV

JUV

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 138 Bài viết

Giả sử có thể đặt ít nhất $k$ quân cờ mỗi loại lên bàn cờ, ta thấy rằng mỗi cột trong số $8$ cột chỉ chứa ít nhất 1 số loại quân xe cùng $1$ màu, tương tự với mỗi cột. Ta đánh dấu mỗi hàng và mỗi cột theo quy tắc sau:  Với mỗi hàng chỉ chứa quân xe màu vàng thì ta gọi hàng đó là hàng xanh, tương tự màu đỏ là cột đỏ, màu vàng là cột vàng. Đánh số tương tự với mỗi cột, các hàng hoặc cột không có quân xe thì không gọi tên. Gọi số cột xanh, cột đỏ, cột vàng lần lượt là $a_1;a_2;a_3$, số hàng xanh, hàng đỏ, hàng vàng là $b_1;b_2;b_3$. Ta có $a_1+a_2+a_3\leq n$; $b_1+b_2+b_3\leq n$ và ta thấy rằng $1$ quân xe không thể thuộc $1$ hàng hoặc $1$ cột khác màu với nó nên mỗi quân xe chỉ được nằm trên ô thuộc vào cột và hàng cùng màu với quân xe đó. Vì vậy các quân xe xanh chỉ được phép nằm trên $a_1$ cột xanh và trên $b_1$ hàng xanh, tổng cộng mỗi quân xe xanh chỉ được phép nằm trên $1$ trong $a_1b_1$ ô, tương tự mỗi quân đỏ chỉ được nằm trong $1$ trong số $a_2b_2$ ô, mỗi quân vàng chỉ được nằm trong $1$ trong số $a_3b_3$ ô. Nhưng các quân xe mỗi loại có đúng $k$ quân xe nên: $k\leq min(a_1b_1;a_2b_2;a_3b_3)\leq \left [\sqrt[3]{a_1b_1a_2b_2a_3b_3}  \right ]\leq \sqrt[3]{\left [ \frac{a_1+a_2+a_3}{3} \right ]^3\left [ \frac{b_1+b_2+b_3}{3} \right ]^3}\leq \left [ \frac{n+1}{3} \right ]^2$. Vậy giá trị lớn nhất số các quân xe trên bàn cờ là $3\left [ \frac{n+1}{3} \right ]^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 30-06-2016 - 23:09





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh