Cho a,b,c dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$.
Tìm GTNN của: $P=\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}$
Cho a,b,c dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$.
Tìm GTNN của: $P=\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}$
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Cho a,b,c dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$.
Tìm GTNN của: $P=\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}$
Áp dụng BĐT $Schwarz,$ ta có:
$$\sum \frac{a^2}{b+2c}=\sum \frac{a^4}{a^2b+2a^2c}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2b+2\sum a^2c}=\frac{9}{\sum a^2b+2\sum a^2c}$$
Do đó chỉ cần chứng minh:
$$\sum a^2b+2\sum a^2c\leq 9$$
Thật vậy, BĐT trên đúng do:
- $a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}=\sqrt{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq \sqrt{3.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}=3$
- $2(a^2c+b^2a+c^2b)\leq 2\sqrt{(a^2c^2+a^2b^2+b^2c^2)(a^2+b^2+c^2)}\leq 2\sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}.3}=6$
Do đó BĐT được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
$\dpi{150} a\geq b\geq c\rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & & \\ \frac{1}{b+2c}\geq \frac{1}{c+2a}\geq \frac{1}{a+2b}& & \end{matrix}\right.\\chebyshev\sum \frac{a^{2}}{b+2c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{2})(\sum \frac{1}{b+2c})\geq \frac{\sum a^{2}}{\sum a}\geq \sqrt{\frac{\sum a^{2}}{3}}=1$
$\dpi{150} a\geq b\geq c\rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & & \\ \frac{1}{b+2c}\geq \frac{1}{c+2a}\geq \frac{1}{a+2b}& & \end{matrix}\right.\\chebyshev\sum \frac{a^{2}}{b+2c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{2})(\sum \frac{1}{b+2c})\geq \frac{\sum a^{2}}{\sum a}\geq \sqrt{\frac{\sum a^{2}}{3}}=1$
chưa chắc gì $c+2a \le a+2b$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh