Chủ đề này có 1 trả lời

[iloveyouproht]

Cho a,b,c $\geq$1 Chứng minh : $\sum \frac{1}{1+a^{3}} \geq \frac{3}{1+abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 01-07-2016 - 09:34

[tritanngo99]

Cho a,b,c $\geq$1 Chứng minh : $\sum \frac{1}{1+a^{3}} \geq \frac{3}{1+abc}$

Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức phụ như sau:

Cho $ab\ge 1$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge \frac{2}{1+ab}(1)$.

Chứng minh:

$(1)\iff (\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab})+(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab})\ge 0$

$\iff \frac{(b-a)[a(1+b^2)-b(1+a^2)]}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)}\ge 0$

$\iff \frac{(b-a)^2(ab-1)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)}\ge 0(TRUE\implies Q.E.D)$.

Áp dụng $BDT$ phụ trên ta có: $\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}\ge \frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}(2)$

                                                  $\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\ge \frac{2}{1+\sqrt{abc^4}}(3)$.

Từ $(2),(3)$ suy ra:

$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\ge 2(\frac{1}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{abc^4}})\ge 2*\frac{2}{1+\sqrt[4]{a^4b^4c^4}}=\frac{4}{1+abc}\implies Q.E.D$