Cho a,b,c $\geq$1 Chứng minh : $\sum \frac{1}{1+a^{3}} \geq \frac{3}{1+abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 01-07-2016 - 09:34
Cho a,b,c $\geq$1 Chứng minh : $\sum \frac{1}{1+a^{3}} \geq \frac{3}{1+abc}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 01-07-2016 - 09:34
Trước khi muốn bỏ cuộc, hãy nhớ lý do vì sao bạn bắt đầu…
________________________________________________
Kẻ thất bại luôn nhìn thấy khó khăn trong từng cơ hội...
Người thành công luôn nhìn thấy cơ hội trong từng khó khăn...
-----------------------
My facebook : https://www.facebook...100021740291096
Cho a,b,c $\geq$1 Chứng minh : $\sum \frac{1}{1+a^{3}} \geq \frac{3}{1+abc}$
Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức phụ như sau:
Cho $ab\ge 1$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge \frac{2}{1+ab}(1)$.
Chứng minh:
$(1)\iff (\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab})+(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab})\ge 0$
$\iff \frac{(b-a)[a(1+b^2)-b(1+a^2)]}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)}\ge 0$
$\iff \frac{(b-a)^2(ab-1)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)}\ge 0(TRUE\implies Q.E.D)$.
Áp dụng $BDT$ phụ trên ta có: $\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}\ge \frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}(2)$
$\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\ge \frac{2}{1+\sqrt{abc^4}}(3)$.
Từ $(2),(3)$ suy ra:
$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\ge 2(\frac{1}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{abc^4}})\ge 2*\frac{2}{1+\sqrt[4]{a^4b^4c^4}}=\frac{4}{1+abc}\implies Q.E.D$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh