Cho tam giác ABC nhọn , đường cao AD , BE, CF cắt nhau tại H . lấy K thuộc cạnh DC , kẻ AS vuông góc với HK , gọi I là giao điểm của EF và AH . Chứng minh SH là tia phân giác của góc DSI .
Cho tam giác ABC nhọn , đường cao AD , BE, CF cắt nhau tại H . lấy K thuộc cạnh DC , kẻ AS vuông góc với HK , gọi I là giao điểm của EF và AH . Chứng minh SH là tia phân giác của góc DSI .
BFEC nội tiếp $\Rightarrow \angle HFE=\angle HBC$
HFBD nội tiếp $\Rightarrow \angle HFD=\angle HBD$
Vì $\angle HFD=\angle HFI (cmt) $ nên FH là đường phân giác trong $\Delta IFD$
Mà $FA \perp FH; A \epsilon ID$ nên FA là đường phân giác ngoài $\Delta FID$
Do đó: $\frac{HD}{HI}=\frac{AD}{AI}(=\frac{FD}{FI})$ (1)
Qua I kẻ đường thẳng song song SD cắt SA;AH lần lượt tại M,N
IN//SD $\Rightarrow \frac{HD}{HI}=\frac{SD}{IN}$ (2)
IM//SD $\Rightarrow \frac{AD}{AI}=\frac{SD}{IM}$ (3)
Từ (1),(2),(3) ta có: IM=IN
$\Delta SMN$ có $\angle MSN=90^o$ và I là trung điểm MN nên $IS=IM=IN$
$IS=IN \Rightarrow \angle ISN=\angle INS$ (4)
IN//SD $\Rightarrow \angle INS=\angle DSN$ (5)
Từ (4) và (5) ta có: $\angle ISN=\angle DSN$ nên SH là tia phân giác của $\angle DSI $
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh