Tìm các số nguyên tố p.q sao cho: p^2-pq-q^3= 27
Tìm các số nguyên tố p,q
#2
Đã gửi 07-07-2016 - 01:12
Tìm các số nguyên tố p.q sao cho: p^2-pq-q^3= 27
Phương trình $p(p-q)=(q+3)(q^2-3q+9)$
Dễ thấy $(p,q)=(7,2)$ là nghiệm. Nếu cả $p,q$ đều lẻ
TH1: $p|q+3\Rightarrow q+3\geq p\Rightarrow q^2-3q+9>q+3>p-q$, kéo theo $\text{VT}\leq \text{VP}$ ( vô lý)
TH2: $p|q^2-3q+9$. Đặt $q^2-3q+9=pk\rightarrow p-q=k(q+3)$. Ta thu được $q^2-q(k^2+k+3)+(9-3k^2)=0$. Với $k=1,2$ thì $q=3\Rightarrow p=9\not\in\mathbb{P}$.
Xét $k>2$, ta thấy $k|(2q-3)^2+27$, do đó nếu $r$ là ước nguyên tố lẻ nào đó của $k$ thì $\left ( \frac{-27}{r} \right )=\left ( \frac{-3}{r} \right )=1\Rightarrow r\equiv 1\pmod 6$, kéo theo $k\geq 7$. Nếu $k=7,8,9$ thì đều vô lý. Xét $k\geq 10$
Phương trình có nghiệm khi mà $T=(k^2+k+3)^2+4(3k^2-9)=k^4+2k^3+19k^2+6k-27$ là scp, với $k\geq 10$ dễ thấy $(k^2+k+8)^2<T<(k^2+k+9)^2$, do đó $T$ không thể là scp
Vậy $(p,q)=(7,2)$
- Minhnguyenthe333, Element hero Neos, hoakute và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 28-07-2016 - 00:25
tại sao
Phương trình $p(p-q)=(q+3)(q^2-3q+9)$
Dễ thấy $(p,q)=(7,2)$ là nghiệm. Nếu cả $p,q$ đều lẻ
TH1: $p|q+3\Rightarrow q+3\geq p\Rightarrow q^2-3q+9>q+3>p-q$, kéo theo $\text{VT}\leq \text{VP}$ ( vô lý)
TH2: $p|q^2-3q+9$. Đặt $q^2-3q+9=pk\rightarrow p-q=k(q+3)$. Ta thu được $q^2-q(k^2+k+3)+(9-3k^2)=0$. Với $k=1,2$ thì $q=3\Rightarrow p=9\not\in\mathbb{P}$.
Xét $k>2$, ta thấy $k|(2q-3)^2+27$, do đó nếu $r$ là ước nguyên tố lẻ nào đó của $k$ thì $\left ( \frac{-27}{r} \right )=\left ( \frac{-3}{r} \right )=1\Rightarrow r\equiv 1\pmod 6$, kéo theo $k\geq 7$. Nếu $k=7,8,9$ thì đều vô lý. Xét $k\geq 10$
Phương trình có nghiệm khi mà $T=(k^2+k+3)^2+4(3k^2-9)=k^4+2k^3+19k^2+6k-27$ là scp, với $k\geq 10$ dễ thấy $(k^2+k+8)^2<T<(k^2+k+9)^2$, do đó $T$ không thể là scp
Vậy $(p,q)=(7,2)$
dòng thứ 4 từ dưới lên là sao ạ
em không hiểu ạ
#4
Đã gửi 28-07-2016 - 00:56
tại sao
dòng thứ 4 từ dưới lên là sao ạ
em không hiểu ạ
Cái đó em đọc phần "Số chính phương mod p" để hiểu rõ hơn.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh