Chủ đề này có 2 trả lời

[quanghung86]

Bài toán sau rất mới của ông Francisco Javier García Capitán từ facebook.

 

Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ thuộc cung nhỏ $BC$. $PB,PC$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $G$ là trọng tâm tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $PG$ tiếp xúc $(O)$.

[baopbc]

Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ thuộc cung nhỏ $BC$. $PB,PC$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $G$ là trọng tâm tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $PG$ tiếp xúc $(O)$.

Lời giải. Ta sử dụng bổ đề quen thuộc sau :

Bổ đề. Cho tam giác $ABC$ có $\angle A=60^\circ$. Khi đó tam giác tạo bởi đường thẳng $Euler,AB,AC$ là một tam giác đều.

Tiếp theo ta sẽ sử dụng bí thuật "đường tròn phụ trong bài toán tiếp xúc"

Phân giác $\angle A$ cắt đường cao từ $B,C$ của tam giác $AEF,BC$ tại $X,Y,Z$

Dễ thấy các tứ giác $BPYZ,CXPZ,AXPF,AYPE$ nội tiếp. Gọi $O,H$ theo thứ tự là trực tâm tam giác $AEF$.

Hình vẽ bài toán

Theo bổ đề trên suy ra $O,H$ đối xứng nhau qua $XY\implies \triangle OXY$ đều, từ đó để ý rằng $GH=2OH$ nên $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OXY$

Mặt khác

$\angle XPY=360^\circ-\angle FPX-\angle FPY=210^\circ-\angle FPY=210^\circ-\angle BPY+\angle FPB$

$=210^\circ-150^\circ+60^\circ=120^\circ$

$\implies P$ thuộc $(XYO)\implies \angle GPX=90^\circ-\angle PYA=90^\circ-\angle AEP=\angle CPX+60^\circ-\angle AEP=\angle CPX+\angle PBC$

$\implies GPC=\angle PBC\implies GP$ tiếp xúc $(ABC).\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 03-07-2016 - 18:13

[quanghung86]

Cám ơn Bảo lời giải rất xúc tích. Bài này có thể viết cách khác như sau

 

Cho tam giác $ABC$ có $\angle A=60^\circ$, điểm Fermat trong $F$ và trọng tâm $G$. $FB,FC$ cắt $CA,AB$ tại $M,N$. Chứng minh rằng $FG$ tiếp xúc $(FMN)$.

 

Vấn đề đặt ra là ta có thể thay thế góc $60^\circ$ và điểm Fermat không ?