Chủ đề này có 4 trả lời

[Minhnguyenthe333]

Chứng minh rằng tồn tại bộ ba $(x,y,z)$ nguyên dương thoả mãn $GCD(x,y,z)=1$ sao cho
$x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$

[Min Nq]

$(x;y;z;n)=(1;1;1;0)$

Nên thêm điều kiện là $x,y,z$ khác $1$ hay là $n$ khác 0 ha. 

[Minhnguyenthe333]

Định lý Legendre: Phương trình $n=u^2+v^2+w^2$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $n\neq 4^s(8l+7)$

Áp dụng vào bài toán:

Đặt $d=GCD(a,b,c)$ suy ra $\exists$ $x,y,z$ sao cho $a=dx,b=dy,c=dz$ với $GCD(x,y,z)=1$

Dễ thấy $3^{2^n}d^2=4^s(8l+7)<=>8l+7$ là số chính phương kéo theo $8l+7\equiv 1$ $(mod$ $8)$ (vô lí)

Suy ra $3^{2^n}d^2\neq 4^s(8l+7)$ nên theo định lý ta có: $a^2+b^2+c^2=3^{2^n}d^2$

$<=>d^2(x^2+y^2+z^2)=3^{2^n}d^2<=>x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$ 

Do $GCD(x,y,z)=1$ nên ta có đpcm

[I Love MC]

Thử một ý tưởng khác 
Quy nạp $n=1$ đúng  
Giả sử đúng với $n$ 
Cần c/m tồn tại $x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1}$ 
Định nghĩa là : $x_{n+1}=x_n^2+y_n^2-z_n^2,y_{n+1}=2y_nz_n,z_{n+1}=2x_ny_n$ 
Vấn đề đây là cần c/m $(x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1})=1$ với $(x_n,y_n,z_n)=1$ 
.....

[nhungvienkimcuong]

Chứng minh rằng tồn tại bộ ba $(x,y,z)$ nguyên dương thoả mãn $GCD(x,y,z)=1$ sao cho
$x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$

ta chứng mình mệnh đề sau bằng quy nạp:tồn tại bộ $(x,y,z)=1$ trong đó có $2$,$1$ số lẻ số chẵn thỏa $x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$

$\bullet$ với $n=1$ thì $(x,y,z)=(2,2,1)$ thỏa đề do

$2^2+2^2+1^2=3^{2^1}$

$\bullet$ giả sử mệnh đề đúng tới $n=k$ tức $\exists\ x_k,y_k,z_k:(x_k,y_k,z_k)=1$ trong đó có $2$ số chẵn và $1$ số lẻ mà

$x_k^2+y_k^2+z_k^2=3^{2^k}$

$\bullet$ ta chứng minh với $n=k+1$ thì bộ $(x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1})=\left ( \left | x_k^2+y_k^2-z_k^2 \right |,2x_kz_k,2y_kz_k \right )$ thỏa

thật vậy dễ thấy $\left | x_k^2+y_k^2-z_k^2 \right |$ lẻ

ta sẽ chứng minh

$\left ( \left | x_k^2+y_k^2-z_k^2 \right |,2x_kz_k,2y_kz_k \right )=1$

gọi $p\mid \left (  x_k^2+y_k^2-z_k^2 ,2x_kz_k,2y_kz_k \right )$

-với $p\not |\ z_k$

$\Rightarrow p| x_k,y_k\overset{p|x_k^2+y_k^2-z_k^2} {\Rightarrow}p|z_k$ $($ vô lí $)$

-với $p|z_k$

$\Rightarrow p|x_k^2+y_k^2\Rightarrow p|x^2_k+y_k^2+z_k^2\Rightarrow p=3\overset{p|x^2_k+y_k^2}{\Rightarrow}3|x_k,y_k$ $($ vô lí do theo cách chọn thì $(x_k,y_k,z_k)=1$ $)$

do đó ta có $\text{Q.E.D}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 26-07-2016 - 15:35