Đến nội dung

Hình ảnh

Hỏi số nhỏ nhất các cặp màu cạnh nhau?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
leanh9adst

leanh9adst

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
1. Mặt phẳng có kẻ ô được tô bằng 10 màu sao cho các ô cạnh nhau ( có cạnh chung) được tô bởi các màu khác nhau, đồng thời 10 đều được sử dụng. Hai màu được gọi là cạnh nhau nếu ở đâu đó chúng được dùng để tô 2 ô cạnh nhau. Hỏi số nhỏ nhất các cặp màu cạnh nhau có thể bằng bao nhiêu?
2. Cho 9 điểm trên mặt phẳng trong đó cứ 3 điểm thì tạo thành 1 tam giác có cách cạnh được tô bởi màu đỏ hoặc xanh, nhưng luôn có cạnh đỏ. CMR tồn tại 1 tứ giác có các cạnh và các đường chéo được tô bằng màu đỏ.

Mặt trời mọc rồi lặn,mặt trăng tròn rồi lại khuyết nhưng ánh sáng mà người thầy rọi vào ta sẽ còn mãi trong cuộc đời!


#2
happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

1. Mặt phẳng có kẻ ô được tô bằng 10 màu sao cho các ô cạnh nhau ( có cạnh chung) được tô bởi các màu khác nhau, đồng thời 10 đều được sử dụng. Hai màu được gọi là cạnh nhau nếu ở đâu đó chúng được dùng để tô 2 ô cạnh nhau. Hỏi số nhỏ nhất các cặp màu cạnh nhau có thể bằng bao nhiêu?
2. Cho 9 điểm trên mặt phẳng trong đó cứ 3 điểm thì tạo thành 1 tam giác có cách cạnh được tô bởi màu đỏ hoặc xanh, nhưng luôn có cạnh đỏ. CMR tồn tại 1 tứ giác có các cạnh và các đường chéo được tô bằng màu đỏ.

1.Xét một tuyến đường đi qua các ô của tất cả $10$ màu và không đi qua một đỉnh nào của các ô.Trên một tờ giấy khác ta vẽ $10$ điểm được tô bằng các màu đã cho, mỗi lần khi ta đi từ ô màu này sang ô màu khác, ta sẽ nối bằng một đoạn thẳng các điểm của các màu đó. Cuối cùng ta sẽ được một hình gồm n đỉnh (trong trường hợp này $n=10$) được nối bằng những đoạn thẳng, đồng thời theo các đoạn thẳng đó có thể đi từ một đỉnh bất kì sang một đỉnh bất kì khác. Bằng phương pháp quy nạp theo n, ta có thể chứng minh được hình như thế có không ít hơn $n-1$ đoạn thẳng. Vì mỗi đoạn thẳng tương ứng với một cặp các màu cạnh nhau, nên số các cặp các màu cạnh nhau không nhỏ hơn $9$

Ta lấy ví dụ một cách sơn với $9$ cặp màu cạnh nhau có thể lập được như sau: Đầu tiên tô màu thứ nhất vào các ô thứ tự như bàn cờ. Sau đó ta sơn các ô chưa được tô màu bằng các màu còn lại theo một thứ tự bất kì sao cho tất cả các màu đều được sử dụng. Khi đó trong số hai ô cạnh nhàu bất kì luôn có một ô được tô bằng màu thứ nhất

2.Nếu tồn tại một điểm $A$ nào đó sao cho từ điểm đó xuất phát ít nhất $4$ đoạn thẳng màu xanh (giả sử là $AB, AC, AD, AE$) thì bài toán được chứng minh ($4$ điểm $B, C, D, E$) thoả mãn

Nếu điểm nào trong $9$ điểm cũng chỉ là đầu mút của nhiều nhất ba đoạn thẳng xanh, ta thấy rằng không thể xảy ra trường hợp cả $9$ điểm đều là đầu mút của đúng ba đoạn thẳng xanh bởi khi ấy số đoạn thẳng xanh là $\frac{9.3}{2}$ không là số nguyên.
Như vậy tồn tại ít nhất một điểm sao cho nó là đầu mút của nhiều nhất hai đoạn thẳng xanh, đồng nghĩa với nó là đầu mút của ít nhất $6$ đoạn thẳng đỏ.
Giả sử điểm đó là $A$ và $6$ đoạn thẳng đỏ là $AB, AC, AD, AE, AF, AG$
Trong $6$ điểm $B, C, D, E, F, G$ tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu (giả sử là tam giác $BCD$)
Theo bài ra thì tam giác nào cũng có cạnh màu đỏ nên tam giác $BCD$ có ba cạnh cùng màu đỏ
Do đó $4$ điểm $A, B, C, D$ thoả mãn yêu cầu bài toán

 

File gửi kèm

  • File gửi kèm  1.png   68.94K   0 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi happyfree: 25-07-2016 - 16:04





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh